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Aufgabe 17. Man soll einen Kegelschnitt zeichnen, der zwei gegebene imaginäre Tangenten berührt und durch drei reelle Punkte geht.

Auflösung: Es seien in Figur 36 durch P(☚Q) die gegebenen imaginären Tangenten dargestellt und durch A, B, C die reellen Punkte, dann kann man(nach Aufgabe 6) einen Kreis zeichnen, der die gegebenen imaginären Tangenten berührt. Sein Mittelpunkt liegt, wie in der Figur angegeben ist, auf der Normallinie PN. Dieser Kreis ist dem gesuchten Kreis perspektivisch ähnlich für P als Strahlpunkt. Die Seiten der beiden perspektivischen Dreiecke ABC und ABC liefern durch ihre Durchschnittspunkte 1, 2 und 3 die Bildaxe. Nehmen wir nun einen beliebigen Punkt X auf der Peripherie des Kreises und verbinden ihn mit einem der schon bezeichneten Punkte, z. B. mit C, dann erhält man einen Punkt 4 der Axe, der mit C verbunden einen Strahl liefert, auf dem der entsprechende Punkt x des Kegelschnittes liegen muſs. Dieser Punkt x muls aber auch auf dem Strahl PX liegen und ist also bestimmt. Man kann auf diese Weise beliebig viele solcher Punkte des Kegelschnittes finden und denselben dadurch punktweise zeichnen.

Aufgabe 18. Drei reelle Tangenten und zwei imaginäre Punkte eines Kegel- schnittes sind durch eine elliptische Punktreihe gegeben, man soll den Kegelschnitt konstruieren.

Auflösung: Zeichnen wir nach Aufgabe 2 mit beliebigem Radius einen Kreis, der durch die beiden imaginären Punkte geht, dann ist der Pol der reellen Verbindungs- linie derselben in Bezug auf diesen Kreis der Scheitel eines involutorischen Strahlen- büschels, welcher der elliptischen Punktreihe der imaginären Punkte entspricht. Dieser Strahlenbüschel liefert zwei imaginäre Tangenten, welche mit den Polen der drei reellen Tangenten nach Aufgabe 17 die Konstruktion eines Kegelschnittes ermöglichen, der dem gesuchten reciprok polar ist.

Aufgabe 19. Einen Kegelschnitt zu konstruieren, von dem zwei reelle Tangenten, ein reeller Punkt und zwei imaginäre Punkte gegeben sind.

Analysis(Figur 37). Es seien t und t die gegebenen reellen Tangenten, P der reelle Punkt und J und Ji die imaginären Punkte, dargestellt durch die elliptische Punkt- reihe AABB. Betrachten wir den Kegelschnitt als Bild eines beliebigen Kreises O für den Träger der Punktreihe AABB als Bildaxe, dann kommt es zunächst darauf an, den Strahlpunkt C zu finden. Die Tangenten t und’t schneiden die Bildaxe in den Punkten T und T; daher entsprechen die Tangenten t, und ti, welche man von diesen Punkten aus an den Kreis ziehen kann, und ihr Durchschnittspunkt Q den Tangenten des Kegelschnittes und deren Schnittpunkt Q. Schneidet PQ die Bildaxe in U, dann muſs auch UQ den Kreis in dem Punkt P schneiden, der P entspricht. Die Verbindungslinien der entsprechenden Punkte QQ und PP sind aber Strahlen des Strahlpunktes C.

Da nun der Strahlpunkt C, die Bildaxe T T und aufser der Vorlage, dem Kreise O, noch ein Punkt des Bildes, nämlich P bekannt sind, so läſst sich das ganze Bild, der Kegelschnitt zeichnen. Verbinden wir zu dem Zwecke einen beliebigen Punkt X der Bildaxe mit den Punkten P und P, wodurch auf dem Kreise der Punkt X entsteht, dann ist der Durchschnitt X von CX und XP ein Punkt des gesuchten Kegelschnittes, der in Figur 31 eine Ellipse bildet.