53 Nehmen wir an, M und M seien die auf der Polaren Cu Cr gelegenen Punkte des Kegelschnittes, dann können wir dieselben als die Scheitel der beiden involutorischen Büschel betrachten, durch deren Strahlen der Kegelschnitt erzeugt wird. Verbinden wir M und M mit L, dann erhalten wir zwei entsprechende Strahlen dieser Büschel, welche sowohl auf I als auf II zwei den dort liegenden involutorischen Punktreihen entsprechende zugeordnete Punkte DDuund D D bezeichnen. Letztere Buchstaben sind in der Zeichnung nicht angegeben. Die Punkte D und D sowohl, als D und Da liegen auf je einer Graden, welche durch L geht. Projicieren wir demnach die Punktreihe der Graden II von L aus auf die Grade I als aarbbi, dann entstehen hier zwei involutorische Punktreihen, in denen die Punkte D und D, D und Du zusammenfallen. Die Graden LM und LM treffen also die gemeinschaftlichen Punkte der Punktreihen A A BBi und aaubb.. Verbinden wir umgekehrt die gemeinschaftlichen Punkte dieser beiden Punktreihen mit L., dann erhalten wir als Schnittpunkte derselben mit der Polaren Ci Ci die Punkte M und M.. Die gemeinschaftlichen Punkte D und Da der beiden involutorischen Punktreihen aber erhält man, wie leicht einzusehen, wenn man durch die Schnittpunkte S und 81 der beiden Gruppen von Halbkreisen einen neuen Halbkreis DS SD1 legt. Da wir nun drei reelle Punkte M, M und EL des gesuchten Kegelschnittes haben und aufserdem zwei imaginäre,

so ist die Aufgabe auf Nr. 13 zurückgeführt.

Aufgabe 15(Figur 35). Einen Kegelschnitt zu konstruieren, der drei reelle und zwei imaginäre Tangenten berührt, wenn letztere durch zwei elliptische involutorische Strahlenbüschel gegeben sind.

Analysis. Sind ti, te, ta die reellen Tangenten und sind die Doppelstrahlen des Büschels P(α 61) die imaginären, dann können wir mit beliebigem Radius einen Kreis O konstruieren, auf den wir die gegebenen Graden als Polaren beziehen können. Sind dann 7¹, 1³, 7a die Pole zu ti, te, ta und a, au, b, biů die Pole der Strahlen α, ι, 6, 91 in Bezug auf diesen Kreis O, dann liegen die letzteren vier Punkte auf einer Graden, nämlich der Polaren zu P, und enthalten, da die Punktreihe ebenfalls elliptisch wird, zwei imaginäre Doppelpunkte Ju und Ja, welche mit den drei reellen l'unkten einen Kegelschnitt bestimmen, der dem gesuchten Kegelschnitt reciprok polar ist.(Kap. IV, § 9, Satz III.) Konstruieren wir diesen Kegelschnitt nach Aufgabe 13, dann erhalten wir die in der Figur gezeichnete Hyperbel. Nehmen wir nun auf dieser Kurve einen beliebigen Punkt X an, dann entspricht ihm im Hilfskreis eine bestimmte Polare pxpy, die Tangente an den gesuchten Kegelschnitt sein mufs. Wir können demnach für den gesuchten Kegelschnitt fünf und mehr Tangenten finden, die ihn bestimmen(einhüllen).

(Vergl. Kap. IV,§ 9, Aufgabe II.)

Der gesuchte Kegelschnitt ist die in Figur 35 gezeichnete Ellipse.

Aufgabe 16. Einen Kegelschnitt zu konstruieren, wenn von demselben zwei Paare imaginärer Tangenten und eine reelle Tangente gegeben ist.

Auflösung: Die Aufgabe läſst sich mit Hilfe eines Hilfskreises, ähnlich wie in voriger Aufgabe, auf Nr. 14 zurückzuführen. Der hiernach gefundene Kegelschnitt ist reciprok polar zu dem gesuchten.