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Aufgabe 12. Einen Kreis zu zeichnen, der eine reelle Grade berührt und durch zwei imaginäre Punkte J und J geht.

Auflösung(Figur 32): Konstruieren wir nach Aufgabe 2 mit beliebigem Radius einen Hilfskreis Mi, der durch die beiden imaginären Punkte geht, dann hat dieser mit dem gesuchten Kreis die reelle Verbindungslinie A A BBi der beiden imaginären Punkte J und J als ideelle Sehne(Potenzlinie) gemein. Diese Grade wird von der gegebenen Tangente in dem Punkte T geschnitten. Zieht man nun von T aus eine Tangente T B. an den Hilfskreis Mi, dann giebt diese auch die Länge von TB an. Der Mittelpunkt M. des gesuchten Kreises ist demnach der Schnittpunkt des in B auf TB errichteten Lotes mit der Graden JJ..

Aufgabe 13. Es soll ein Kegelschnitt gezeichnet werden, der durch drei reelle und zwei imaginäre Punkte geht.

Analysis. In Figur 33 seien L, Mund N die gegebenen reellen Punkte, während die imaginären J und Ji durch die elliptische involutorische Punktreihe A A BBA be- stimmt sein mögen.

Nehmen wir an, der Pol S des Trägers der elliptischen Punktreihe, der in der Figur nicht gezeichnet ist, wäre bekannt und mit M, L und N verbunden, dann würden wir durch die entsprechenden Punkte Mi., Li, Ni auf der Peripherie des Kegelschnittes eine Involution erhalten und die Verbindungen ML und MIu würden auf dem Träger der gegebenen Punktreihe als entsprechende Strahlen zweier involutorischen Büschel mit den Scheiteln L und L die zugeordneten Punkte C und C bestimmen; ebenso würden die Verbindungen NL und NLu die zugeordneten Punkte D und D angeben(Kap. IV, § 9, Satz I und II). Der Punkt Li muſs also sowohl auf der Graden MC als auf der Graden ND liegen und ihr Durchschnittspunkt sein. Die Punkte Cund D sind bekannt, und die entsprechenden Punkte Ci und Di lassen sich mit Hilfe der gegebenen Punkte A AlBB leicht auffinden; folglich wird auch der Punkt Lu bestimmt. Nehmen wir nun L und Lu als Scheitel zweier involutorischen Strahlenbüschel, dann sind von jedem derselben 3 Strahlen, nämlich LM, LN, LL und L. M, LiN und LiL bekannt und wir können mit Hilfe der gegebenen involutorischen Punktreihe beliebige andere Paare entsprechender Strahlen zeichnen; z. B. LX und L. XI. Jedes neue Strahlenpaar liefert einen neuen Punkt des Kegelschnittes. Man kann daher beliebig viel Punkte desselben auf diese Weise angeben.

Anmerkung: LLu ist Polare zu E.

Aufgabe 14. Vier imaginäre Punkte sind durch zwei elliptische involutorische Punktreihen AA BBI und A A B B gegeben und auſserdem ein reeller Punkt L. Man soll den zugehörigen Kegelschnitt zeichnen.

Analysis(Figur 34). Auf den Trägern I und II der gegebenen Punktreihe lassen sich zunächst die Punkte C, und Ci angeben, welche dem Durchschnitt C oder C entsprechen. Die durch Cr Ci gelegte Grade ist die Polare des Punktes C oder C in Bezug auf den gesuchten Kegelschnitt.(Siehe Anmerkung zu voriger Aufgabe.)