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imaginären Tangenten des Punktes P,, welche hier nicht gezeichnet sind, müssen mit den inneren reellen Tangenten zweier auseinander liegender Kreise verglichen werden, da die Polaren auf verschiedene Seiten von Pa fallen.

Als Berührungspunkte der Tangenten können entweder die imaginären Schnitt- punkte der Polaren mit ihren Kreisen betrachtet werden, von denen zwei, nämlich Ja und J. in der Figur 29 angegeben sind, oder die durch eine Drehung von 90° um die Polare in eine zur Zeichenfläche senkrecht stehende Ebene verlegten Punkte Ji, Ja, Ja, J.

Aufgabe 9. Man soll einen Kreis zeichnen, der durch zwei gegebene imaginäre Punkte und einen reellen Punkt geht.

Auflösung: Sind in Fig. 24 Ji und Ja die gegebenen imaginären Punkte und P der reelle Punkt, dann ist O als der Halbierungspunkt der imaginären Verbindungslinie JJ und OX als die reelle Verbindungslinie dieser Punkte zu betrachten. Diese muſs zugleich Potenzlinie sein, da XO+ i0)(X¼✕ 0— iOJ) und XO*+ OJ== XͤJ2= XT2 ist, wenn T den Berührungspunkt der Tangente XT bezeichnet.

Nehmen wir also den beliebigen Punkt X auf derselben an und ziehen die Grade XP, dann mußs XP.XP= XJ.XJ sein, mithin auch X— 8

Die Strecke XP ist also als 4. Proportionale zu drei gegebenen Strecken bekannt, daher auch der Punkt P des gesuchten Kreises.

Der Mittelpunkt des letzteren ist der Durchschnittspunkt der in der Mitte von PP errichteten Senkrechten mit der Graden J J.

Aufgabe 10. Einen Kreis zu zeichnen, der eine reelle und zwei imaginäre Tan- genten berührt.

Analysis. GEigur 30). Die gegebene reelle Tangente sei t, und die beiden imaginären Tangenten seien durch das elliptische Strahlenbüschel P(e as 51) gegeben, dann muls der Mittelpunkt Ma(M) des gesuchten Kreises auf einem der beiden Normal- strahlen PN oder PN liegen. Konstruieren wir daher nach Nr. 6 mit einem beliebigen Radius einen Kreis M.(a), der die beiden Doppelstrahlen des gegebenen Büschels berührt, und legen an diesen eine Tangente ta,(te) t, die den Hülfskreis in B(Ba) berührt, dann ist dieser dem gesuchten Kreis für den Khnlichkeitspunkt P perspektivisch ähnlich; daher gehen die Verbindungsgraden von P und dem Berührungspunkt B(oder Ba) auch durch den Berührungspunkt B(B.). Der gesuchte Mittelpunkt Ma(Ma) ist also der Schnitt- punkt der Normalen PN mit dem in B2(B.) auf t etrichteten Lote.

Aufgabe 11. Ein reeller Punkt und zwei imaginäre Grade sind gegeben. Man soll einen Kreis zeichnen, der durch diesen Punkt geht und diese Graden berührt.

Auflösung: Ist in Figur 31 A der gegebene Punkt und werden die imaginären Graden durch den Büschel P(abarbi) dargestellt, dann muſs der Mittelpunkt des gesuchten Kreises auf einer der beiden Normallinien PN oder PN liegen. Konstruieren wir daher mit beliebigem Radius nach Aufgabe 6 einen Kreis Mi, der die gegebenen imaginären Graden P(a b ar bi) berührt, dann ist dieser dem gesuchten Kreis M für P als Ahnlichkeits- punkt perspektivisch. Verbinden wir P mit A, dann muſs Ar dem Punkte A entsprechen und A MIIAM sein. Daher ist der Mittelpunkt M des gesuchten Kreises gefunden.

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