Werte von x werden imaginär, da DGI= DP, also auch tang.= 1 wird. Ueber- haupt giebt es immer nur zwei Kreise, welche die Aufgabe erfüllen.

Aufgabe 7. Ein Kreis soll konstruiert werden, der zwei gegebene imaginäre Tangenten in zwei gegebenen imaginären Punkten berührt.

Auflösung(Figur 28): Die imaginären Tangenten seien die Doppelstrahlen des elliptischen involutorischen Büschels P(a β α☚ ι) und die imaginären Berührungspunkte die Doppelpunkte der elliptischen involutorischen Punktreihe A BA Bi, dann mulſs der Mittelpunkt des gesuchten Kreises auf einem der beiden Normalstrahlen PN oder PN des Büschels P liegen. Die imaginären Tangenten treffen die Polare von P in den Doppel- punkten der Punktreihe A BA Bi. Durch diese Punktreihe ist die Lage der Polaren pp zu P, und durch die Involution ABAB sind die Doppelpunkte J und J gegeben.

Nun muſs Tangente OC= OJ sein, wie in Konstruktion Nr. 1 ausgeführt ist, daher ist C durch den Kreis mit OJ als Radius und durch die Polare PN des Punktes O bekannt. Der Mittelpunkt Q des gesuchten Kreises ist also Schnittpunkt der Normalen PNi und der in C auf 0C errichteten Senkrechten.

Aufgabe 8. Man soll an zwei gegebene Kreise, von denen der eine ganz inner- halb des anderen liegt, die gemeinschaftlichen Tangenten zeichnen.

Analysis.(Figur 29): Der Scheitel der gemeinschaftlichen imaginären Tangenten ist immer reell, und jeder der beiden Kreise O und 0o muſs für denselben als Khnlich- keitspunkt das Bild des anderen sein.

Bezeichnen wir den Abstand O P vom Scheitel des elliptischen Büschels Pi(a ⁴να νο) mit xi, den Abstand O= Pi mit xe und den Winkel, welchen die imaginären Tangenten mit der Zentrallinie oder einer Normallinie bilden mit i, dann muſs nach der Analysis der Aufgabe 6: XI2= ri*(1— cotang. ²%) und X*ν—- r**(1— cotang. ²); mithin auch=+ 3 sein. Die Scheitel der gemeinschaftlichen imaginären Tangenten teilen also, grade wie die von reellen Tangenten, die Zentrallinie im Verhältnis der Radien harmonisch und fallen mit dem äuſseren und inneren Ahnlichkeitspunkte zusammen. Die Punkte l'o und

Pe sind demnach leicht zu finden.

Zwei beliebige durch P. gelegte Sekanten bilden nun auf jedem der beiden Kreise nach Kapitel IV,§ 5, Satz 5 eine Involution, Pi(A A B Bn) beziehungsweise Pu(a aub bo), und die Verbindungslinien ba, brar, bau, bra etc. bezeichnen die den Kreisen zugehörigen Dolaren prpi und pe pa und auf jeder derselben zwei zugehörige Punkte a und au oder A und A einer elliptischen Involution. Die Punkte a und A, a und Au müssen per- spektivisch sein, da sie auf entsprechenden Strahlen des Khnlichkeitspunktes liegen; zwei andere durch P. gelegte Sekanten bezeichnen zwei andere entsprechende Involutionspunkte, 2. B. b und bi, B und B.. Die von Pi nach a, al, b, bi gezogenen Strahlen bilden einen beiden Kreisen angehörigen involutorischen Büschel, dessen Hauptstrahlen die gesuchten gemeinschaftlichen Tangenten sind. Die imaginären Doppelstrahlen des Büschels Pi sind den äufseren reellen Tangenten zweier auseinander liegender oder sich schneidender Kreise vergleichbar, da der Punkt Pu auf derselben Seite der Polaren pi und pa liegt. D)ie