49 auf der leicht zu zeichnenden Polaren MN des Scheitels P eine elliptische Punktreihe erzeugt. Die imaginären Doppelpunkte Ji und Je dieser Punktreihe sind sowohl die imaginären Schnittpunkte der Polaren des Punktes P als auch die Berührungspunkte der imaginären Tangenten mit dem gegebenen Kreise(Kap. IV.§ 5 S. V).

Anmerkung: Die imaginären Tangenten sind die Doppelstrahlen des elliptischen Büschels P(.⁵⁴αα) und müssen mit der Normallinie n, die hier mit OP zusammenfällt, gleiche Winkel bilden, sodaſs tang. naæ tang. na= tang. n tang. n 51—— tang. ²*% ist(Kap. IV.§ 6 S. D). Drehen wir die Grade J.Je um die Grade MN um 90⁰, dann ist diese Bedingung erfüllt. Die um 90° um die Axe MN aus der Ebene des Kreises ge- hobenen Punkte Ji und Je können also als die Berührungspunkte der durch das involu- torische Büschel P(.⁴ασ) gegebenen Tangenten an den Kreis O betrachtet werden.

Aufgabe 6: Es sind zwei imaginäre Grade gegeben, man soll mit gegebenem Radius r einen Kreis konstruieren, der dieselben berührt.

Analysis: Die beiden imaginären Graden seien die Doppelstrahlen des involu- torischen Büschels P(.,⁴ααι), Fig. 27, dann muls der Mittelpunkt des gesuchten Kreises auf einem der beiden Normalstrahlen PG oder PR liegen, die man zu den gegebenen Strahlen nach Kap. IV.§ 6 konstruieren kann; denn die Normalstrahlen sind nach Kap. IV. § 6 S. I als die Halbierungslinien der von den imaginären Doppelstrahlen gebildeten Winkel 2 i und 2 R— 2 7i zu betrachten.

Der gesuchte Kreis muſs auch die imaginären Doppelstrahlen berühren. Nennen wir die Länge des vom Mittelpunkt O des gesuchten Kreises und von dem Scheitel P des

gegebenen Büschels begrenzten Teiles der Normallinie: x, dann ist E= sin.(† i), wenn wir xX

unter( i) den um 90° aus der Ebene gedrehten Winkel verstehen; daher X= r VI Pcotang. ²0(% i¹). Bezeichnen wir die Normalstrahlen mit n und n, dann ist der Winkel durch die Gleichung: tang.«n-tang.«in= tang n-tang. Sun=—(tang. ²%)* = tang.*( i) oder tang.«ni tang. auni= tang. ni tang. uni=—(cotang.)²= cotang. ²(† i) bestimmt. Man erhält= r VI— cotang*²% oder r VI— tang-*&, je nachdem der Mittelpunkt des Kreises auf der Normalen n oder n. angenommen wird.

Konstruktion. Suche die Normalstrahlen PG und PR zu P(αmℳ αι 1), errichte im beliebigen Punkte D das Lot DS auf PG, konstruiere über AA und BB als Durch- messer die Halbkreise, welche sich in G schneiden, mache DG= DG' und verbinde G1 mit P. Ziehe LLi im Abstande r OG und KQi+ 0G, schlage mit r einen Kreis um Qi, der die Grade PR in Z trifft, und mache PO= PZ.

Behauptung. O ist Mittelpunkt des gesuchten Kreises.

. Kon. DG.. ſiDGh AD AD und tang?² Pd* BP.(0Ph= Pb„fß. tang. an-tang an n. Der Kreis O mit dem Radiusr perührt also die gegebenen imaginären Tangenten. Anmerkung. Der Mittelpunkt eines zweiten Kreises, der die Aufgabe löst,

liegt auf der Verlängerung von 0P in gleicher Entfernung von P. Die beiden anderen