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Es giebt also oberhalb und unterhalb der Graden XX einen Punkt M, um den man mit r einen Kreis beschreiben kann, der die Aufgabe erfüllt.

Anmerkung: Die neuere Geometrie giebt die imaginären Punkte J und Ji nicht unmittelbar, sondern stellt sie durch eine elliptische Punktreihe dar, deren Doppelpunkte sie sind.(Vergl. Kap. IV§ 3 Erklärung.)

In Fig. 25 z. B. sind die beiden imaginären Punkte durch die elliptische Punkt- reihe AB AB auf dem Träger XX gegeben. Die beiden über A A und B B als Durch- messer beschriebenen Kreise bezeichnen durch ihre Durchschnittspunkte die beiden imagi- nären Punkte Ji und J; denn O A 0 A1= 0B. O B= O0C OC=(i0 J)*.

Aufgabe 3: Zwei Kreise sind gegeben, von denen der eine ganz auſserhalb oder innerhalb des anderen liegt, man soll die gemeinschaftliche imaginäre(ideelle) Sekante zeichnen.

Analysis(Fig. 26): Ist OD die gesuchte gemeinschaftliche Sekante und sind J und Ji die gemeinschaftlichen Schnittpunkte derselben mit den Kreisen M. und Me oder Ma, dann muſs OJ= OJ,, gleich der von O an jeden der drei Kreise gezogenen Tangente sein, wie in Aufgabe 1 erläutert ist. O muſs demnach ein Punkt der Potenzlinie der beiden Kreise sein, und die gemeinschaftliche Sekante muſs in diesem Punkte auf J Ji, also auf der Centrallinie des Kreises senkrecht stehen.

Daraus ergiebt sich, daſs die gesuchte Grade OD die Potenzlinie oder gemein- schaftliche Chardale der beiden Kreise ist, von denen der eine den anderen ausschlieſst oder einschlieſst.

Aufgabe 4(Figur 26): Die gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte zweier Kreise zu bestimmen, von denen der eine ganz auſserhalb oder innerhalb des anderen liegt.

Auflösung: Die gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte der beiden Kreise sind die imaginären Schnittpunkte ihrer gemeinschaftlichen Sekante, also der Potenzlinie. Diese Schnittpunkte J und Ja müssen, wie aus der Auflösung der Aufgabe Nr. 3 hervor- geht, auf der Centrallinie liegen, und ihr Abstand von dem Durchschnittspunkt O der Centrallinie und der Potenzlinie ist gleich der von diesem Punkte aus an einen der beiden Kreise gezogenen Tangente.

Anmerkung 1: Die Punkte J und Ji verhalten sich wieder, abgesehen davon, daſs sie nicht auf den Peripherien der Kreise selbst liegen, wie zwei reelle l'unkte der gegebenen Kreise. Zieht man z. B. von einem beliebigen Punkte D der imaginären Sekante die Tangenten DA, DA, DB, DB., DC, DCI an die Kreise und verbindet D mit J und Ji, dann ist DA*= DB²= DC: etc.= DJ. DJ.

Anmerkung 2: Da OA OA= 0B 0B1= 0C 0C= 0J. 0J1= 0 J*= 0 ist, so bilden die Punkte ABCAIBICI eine hyperbolische Involution, deren Doppelpunkte die jetzt reellen Punkte J und J sind.

Aufgabe 5: Ein Kreis und zwei imaginäre Tangenten sind gegeben. Man soll die Berührungspunkte derselben bestimmen.

Auflösung: Die imaginären Tangenten sind die Doppelstrahlen des gegebenen elliptischen Strahlenbüschels P(a ⁴ασ ετ(Fig. 27)(Kap. IV.§ 5 letzter Absatz), welches