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und a bis e sind die beiden gezeichneten Kegelschnitte, welche in der Figur Hyperbeln sind, bestimmt. Sie sind den Kegelschnitten I und II in Bezug auf den Kreis III reciprok polar. Diese beiden reciprok polaren Kurven schneiden sich in vier Punkten α, 5, y, welche auch imaginär werden können. Jedem dieser Durchschnittspunkte ontspricht offenbar eine Kreispolare, welche eine gemeinsame Tangente an die beiden gegebenen Kegelschnitte I und II sein muſs. Den Punkten«, 9,„, d entsprechen in der Figur die Tangenten ti, te, ts, ta.

Kapitel V.

Aufgabe 1. Die imaginären Durchschnittspunkte einer Graden und eines Kreises sollen bestimmt werden.

Analysis: Schneidet ein Kreis eine Grade in den reellen Punkten P und P und man fällt vom Mittelpunkt M desselben ein Lot MO auf die Grade, dann ist, wenn

Berührt die Grade den Kreis, wird MO= r, daher OP= OP= 0. Wenn aber wie in Figur 25 die Grade XX einen Abstand vom Mittelpunkt hat,

durch ihre Endpunkte die gesuchten imaginären Durchschnittspunkte J und J. an. Konstruktion: Mache MO— XX, ziehe von O die Tangente 0C an den Kreis und mache OJ und OJ= 0C. Behauptung: J und Ji sind die imaginären Durchschnittspunkte der Graden

XX und des Kreises M oder oi= Vr=— OMꝰ und oi=— Vr=— 6 M. Beweis: 0J= 00= VÖoM“re; daher oi= i0J= Vr=— O M= 0J.= 0C= VOoW re, daher oi= i0J1=— Vr=—0M.

Die Punkte J und Ji liegen zwar nicht auf der Peripherie des Kreises, genigen aber sonst jeder Forderung, die man für die reellen Durchschnittspunkte einer Graden und eines Kreises aufstellen kann. So ist z. B. DF.DFI= DJ. DJ=(DO iOn). (d0— io)= P0o+ 6= DP=P= PFE:.

Aufgabe 2: Man soll mit gegebenem Radius r einen Kreis konstruieren, der durch zwei gegebene imaginäre Punkte J und Ji geht. ¹

Analysis(Fig. 25): Sind J uud Ji die gegebenen imaginären Punkte, dann kennt man auch ihre reelle Verbindungslinie, als welche die Grade XX(nicht JJ) angenommen werden mulſs. Diese Grade ist die im Centralpunkt O errichtete Senk- rechte auf JTJi. Der Mittelpunkt M des gesuchten Kreises liegt nun auf der in O auf XX

errichteten Senkrechten. OJ muſs, wie in voriger Aufgabe erläutert ist, gleich OM“*— re,

also OM= 06= Vr⸗+. 67= VTG 07 sein.