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Satz VII. Eine um einen Kegelschnitt sich drehende Tangente schneidet zwei feste Tangenten in zwei projektivischen Punktreihen. In diesen entsprechen die im Schnittpunkte der festen Tangenten ver- einigten Teilpunkte den Berührungspunkten der Tangenten(§7, Satz II).

Umkehrung: Liegen auf zwei Graden zweiprojektivische, aber nicht perspektivische Punktreihen, dann sind die Verbindungslinien je zweier entsprechender Punkte Tangenten eines Kegelschnittes, der die beiden Graden in denjenigen Punkten berührt, welche ihrem Schnittpunkte entsprechen.

Satz VIII. Die auf der Polaren eines Kegelschnittes liegenden Punkte bilden eine Reihe, welche dem Büschel ihrer Polaren projek- tivisch ist(Kap. IV,§ 7, Satz III).

Umkehrung. Die Pole eines Strahlenbüschels in Bezug auf einen Kegelschnitt liegen auf der Polaren des Scheitels desselben und bilden eine dem Büschel projektivische Punktreihe.

Aufgabe I. Einen Kegelschnitt zu zeichnen, der durch fünf gegebene reelle Punkte O0 ABC geht.

Auflösung. Die drei Strahlen O(ABC) und 0.(AB C) bestimmen nach der Umkehrung des Satzes II dieses Paragraphen zwei projektivische Büschel. Zu einem beliebig angenommenen vierten Strahl OD des einen Büschels kann man leicht den ent- sprechenden Strahl O D des anderen finden. Diese beiden Strahlen schneiden sich in einem sechsten Punkte des Kegelschnittes. Wie den sechsten kann man einen siebenten, achten Punkt u. s. w. finden.

Aufgabe II. Einen Kegelschnitt zu zeichnen, von dem fünf reelle Tangenten ti, te, ts, ta, tz gegeben sind.

Auflösung. Die Tangenten tza, ta, t; schneiden die beiden Tangenten t und te in zwei projektivischen Punktreihen ν und αι(nach Satz VII des Paragraphen 9). Zu einem beliebigen vierten Punkt d der einen Reihe kann man leicht den entsprechenden der anderen finden. Hat man nun auf tz die Punkte«, 6, y, d, S... und auf ta die ent- sprechenden Punkte l, pi, d1,&r gefunden, dann sind die Verbindungslinien αα, 1, 77, dd ε1.... Tangenten an den gesuchten Kegelschnitt(Umkehrung von Sat⸗ VII). Dieselben umhüllen ihn um so genauer, je zahlreicher sie sind.

Aufgabe III. Die gemeinschaftlichen Tangenten an zwei Kegelschnitte I und II zu zeichnen.

Auflösung(Fig. 40). Wir nehmen einen beliebigen Hilfskreis III und suchen für denselben die Pole von fünf Tangenten, die man an jeden der beiden Kegelschnitte gelegt hat, dann erhält man zwei neue Kegelschnitte als reciprok polare Kurven zu den beiden gegebenen I und II. In Figur 40 entsprechen den Tangenten in den Punkten 1, 2, 3, 4, 5 an die Ellipse I die Pole 1, 2, 3, 4, 5 für den Kreis III und den Tangenten in a, b, c, d, e der Ellipse II die Pole a, b, c, d, e für III. Durch die fünf Pole 1 bis 5