45

ta, ta.... Mithin sind umgekehrt die Graden Pi Pe, Pi Pa, PiP..... die Polaren der Durchschnittspunkte von tite, ti ta, tit.....; denn der Durchschnitt zweier Polaren ist Pol für die Verbindungslinie der zugehörigen Punkte(Uth, Übungssatz 241). Das Strahlen- büschel Pi(Pe Pa Pa....) ist nun projektivisch der Punktreihe auf ti. In gleicher Weise ist das Strahlenbüschel Pe(PiP, P....) projektivisch der Punktreihe, welche durch die bewegliche Tangente auf te angegeben wird. Da nun die Punktreihen auf t, und te einander projektivisch sind, so müssen auch die Strahlenbüschel Pi(Pe Pg..) und Pe(Pi Pg..) projektivisch sein, und die Punkte PiPe Pa.. müssen als Schnittpunkte homologer Strahlen auf einem Kegelschnitt liegen(§ 7, Satz I). Die Kurve E ist demnach ein Kegelschnitt. Fassen wir jetzt zwei beliebige Punkte P; und Py auf dem Kegelschnitt E ins Auge, dann sehen wir, daſs ihre Polaren ta und ty Tangenten an dem Kegelschnitt H sind. Legen wir durch P; und Py Tangenten an den Kegelschnitt E, dann liegen ihre Pole in Bezug auf den Kreis O auf den Tangenten ta und ty des Kegelschnittes H und der Pol der Ver- bindungsgraden P« Py ist der Schnittpunkt von ta und ty.

Jemehr sich der Punkt P; dem Punkte Py nähert, umsomehr kommt die Tangente in P;ʒ in die Lage der Tangente in Py, und umsomehr nähert sich ihr Schnittpunkt der Kurve H. Fallen endlich die beiden Punkte P; und Py in einen zusammen, dann fallen auch ihre Tangenten zusammen, und zwar in die nunmehr durch einen Punkt bezeichnete Verbindungslinie PPy. Der Durchschnittspunkt der Tangenten ta und ty, welcher der Pol der Tangente in P; oder Py ist, fällt auf die Kurve H. Die in einem beliebigen Punkte PGy des Kegelschnittes E berührende Tangente hat also ihren auf den Hilfskreis O bezogenen Pol auf dem Kegelschnitt H. Daraus läſst sich schlieſsen, daſs alle Tangenten an die Kurve E ihre Pole auf H haben. Da nun E der geometrische Ort der Pole der Tangenten an H und H der geometrische Ort der Pole der Tangenten an E ist, so sind beide Kurven in Bezug auf den Hilfskreis O reciprok polar.

Satz IV. Die Schnittpunkte der Seiten eines Dreiecks mit einem Kegelsc hnitt liegen so, dafs das Produkt der sechs Eckabschnitte des Dreiecks in dem einen Sinne um die Figur herum gleich dem Produkt der sechs Abschnitte in dem anderen Sinne ist(§ 7, Satz IV).

Satz V. Die Seiten eines einem Kegelschnitte einbeschriebenen Vierecks schneiden sich in einer Graden, die Polare zum Durchschnitt der Diagonalen ist(§ 7, Satz V).

Umkehrung: Zieht man von zwei zugeordneten Punkten der Polaren eines Kegelschnittes je zwei Sekanten, welche sich in 3 Punkten der Kurve treffen, dann liegt auch ihr vierter gemeinschaftlicher Punkt auf derselben, und die Verbindungslinien je zweier gegenüberliegender Sechnittpunkte gehen durch den Pol der gegebenen Polaren.

Satz VI. Zieht man von zwei zugeordneten Punkten einer graden involutorischen Punktreihe Tangenten an einen Kegelschnitt, dann bilden diese ein demselben umbeschriebenes Vierseit, von dem zwei Diagonalen sich im Pol der Graden, dem Träger der Punktreihe, schnejden(& 7, Sat⸗ V)