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Man kann daher sagen, dafs der Kegelschnitt, welcher in der Figur 36 eine Ellipse ist, ein Bild des Kreises sei, für den Punkt P als Strahlpunkt und die Grade LLi als Bildaxe.

Von den auf die Kegelschnitte bezüglichen Sätzen werden namentlich die folgenden zur Anwendung kommen:

Satz I. Zieht man von einem Punkte S aufserhalb oder innerhalb eines Kegelschnittes zwei Sekanten(Sehnen), dann bestimmen diese auf demselben vier Punkte einer Involution(Umkehrung von§ 5, Satz II). Die vier graden Verbindungslinien der nicht zugeordneten Punkte der- selben schneiden sich in zwei Punkten der Polaren(§ 5, Satz IV). Zieht man eine dritte Sekante durch S, dann liefert diese zwei neue involu-— torische Punkte des Kegelschnittes, und die Verbindungslinien dieser beiden Punkte mit je zwei anderen zugeordneten Punkten geben zwei neue homologe involutorische Punkte auf der Polaren an. Die Be- rührungspunkte der von S an den Kegelschnitt gezogenenen Tangenten sind Punkte der Polaren und die reellen(imaginären) Doppelpunkte der involutorischen Punktreihe auf derselben(§ 5 Satz V). Die vons aus nach den involutorischen Punkten der Polaren gezogenen Strahlen bilden einen involutorischen Büschel, dessen reelle(imaginären) Doppelstrahlen die reellen(imaginären) Tangenten sind.(§ 5.)

Satz II. Zwei projektivische und daher auch zwei involutorische nicht perspektivische Strahlenbüschelschneiden sich in Punkten eines Kegelschnittes, der durch die Scheitel der beiden Büschel geht. Der geraden Verbindungslinie der beiden Scheitel als einem Strahl des einen Büschels entspricht die Tangente im Scheitel des andern, und der Schnittpunkt der Tangenten in beiden Scheiteln ist Pol zur graden Verbindungslinie ihrer Scheitel(§ 7, Satz I und Uth, Ubungssatz 238.)

Satz III. Die Pole der Tangenten an einem Kegelschnitt in Bezug auf einen Kreis bilden einen zweiten Kegelschnitt, der dem ersten reciprok polar ist, d. h. der die Eigenschaft besitzt, dafs der Pol jeder an ihn gezogenen Tangente in Bezug auf genannten Kreis wiederum auf dem ersten Kegelschnitt liegt.

Beweis: Sind ti und ta zwei feste Tangenten des Kegelschnittes H, dann können wir sie nach Kapitel IV,§ 7, Satz II als Träger zweier projektivischen Punktreihen betrachten, die durch eine sich um H drehende dritte Tangente erzeugt sind. Die Pole der beweglichen Tangente müssen, wie leicht einzusehen ist, eine zusammenhängende Kurve E bilden. Bezeichnen wir die auf einander folgenden Lagen der beweglichen Tangente mit ta, ta.., dann enthält die Kurve E die Pole Pi, P., Pa, P..... der Tangenten t te,