Satz III. Die auf der Polaren eines Kreises liegenden Punkte bilden eine Reihe, welche dem Büschel ihrer Polaren projektivisch ist. (Figur 23.)

Beweis: Sind ABC die in der Polaren von S liegenden Punkte und a, b, c mit dem Scheitel S ihre zugehörigen Polaren, dann ist Winkel ab gleich A0B, da ihre Schenkel aufeinander senkrecht stehen; ebenso ist Winkel be= B0C etc.; folglich Strahlenbüschel O(ABC)— S(abc). Nun ist ABG.... projektivisch O(ABG...) (§ 2 Satz VI), daher auch(ABGC....) projektivisch S(abc...).

Umkehrung des Satzes: Die Pole der Strahlen eines Büschels in Bezug auf einen Kreis liegen auf der Polaren des Scheitels und bilden eine dem Strahlenbüschel projektivische Punktreihe.

Satz IV. Satz von Carnot. Schneiden die Seiten eines Dreiecks oder deren Verlängerungen eine Kreislinie, dann ist das Produkt der sechs durch den Kreis erzeugten Eckabschnitte in dem einem Sinne um die Figur herum gleich dem Produkt der sechs anderen Abschnitte in dem entgegengesetzten Sinne.

Figur 24. Behauptung: AD ADI- BE. BEI- CF. CFI= AF-AFu-CE. C E-BD-BD..

Beweis: AD-ADI=ö= AKsA Krp

BE.BEI= BD. BD; OF. CF.= CE. CEa]

AD-ADI-BE-BEI-CF.CFI= AF. AFI-CE-CEi-BD.Bb..

Der Satz gilt auch für die imaginären Durchschnittspunkte, z. B. für J und J der idealen Sekante AC; denn AD.AD= AJ-ANI(wie später in Kap. V, Aufgabe

B E- BEI= BD.BD 1 u. 4 bewiesen werden wird), C J. Cr JI= CI ECi Er

AD-ADIL-BE- BEw CrJ Cr.— AJ.AJ Ci E C. E.BD.B D.

Satz V. Legt man durch die Eckpunkte EFGH eines Kreisvierecks (Fig. 41) die Tangenten AB, BC, CD, Abp, dann liegen erstens die Durch- schnittspunkte je zweier gegenüberliegenden Seiten beider Vierecke in einer Graden KLi und bilden durch ihre Ecken und Diagonalen 3 Paar entsprechender Punkte einer Involution; zweitens schneiden sich zwei Diagonalen beider Vierecke in ein und demselben Punkt O, welcher Pol der Graden KI ist.

Beweis: Nach dem Satze von Pascal(vergl. Uth, Uebungss. 242) liegen die Durchschnittspunkte je zweier gegenüberliegender Seiten eines Sehnensechsecks in einer Graden. Läſst man zwei Paare von Eckpunkten des Sechsecks in einen Punkt zusammen- fallen, z. B. in den Punkten E und G der Figur, dann geht das eingeschriebene Sechseck in ein Viereck EFG H über, und als Verbindungslinien der in den Punkten E und G zusammengefallenen Punkte müfſsen die Tangenten AB und CD gelten. Nimmt man an,