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sin. nh sin. na- sin. nuihn sin. nia oder——:—ll:-n oder, d-e ink

sin. nih sin. nra sin. nhi sin. nar oder, da Winkel nihi und nh, nra und 1 8 erne Fänne nant und nhi, nia uud nai zur Summe oder Differenz einen Rechten haben, un a tang. nh=— 1 1

, g tang. nh ist, so ist tang. na tang. nau=(tang. n h)“.

Sind die Hauptstrahlen imaginär, dann ist tang. na tang. na=(i tg. uh)²= —(tang. n h)“*.

§ 7. Projektivische Gebilde am Kreis.

Satz I. Der geometrische Ort für die Durchschnittspunkte von zwei gleichen und gleichgerichteten Strahlenbüscheln P(bede) und PH(br r d ed) ist ein Kreis, der durch die Scheitel P und P der beiden Büschel geht. Der Strahl a im ersten Büschel, den die Tangente im Punkte P an den Kreis bildet, entspricht dem Strahl al des anderen Büschels, welcher die beiden Scheitelpunkte P und Pder Büschel verbindet. Umgekehrt entspricht ei dem Strahl e.

Beweis: Fig. 21. Da die Büschel gleich und gleichgerichtet sein sollen, sind die Winkel be, ed etc. den Winkeln bicr, crdi etc. gleich; folglich muſs der durch PBC gelegte Kreis auch durch P gehen; ebenso muſs der durch PBD gelegte Kreis durch Pi gehen Da nun ein Kreis durch 3 Punkte der Peripherie PBPr unzweideutig bestimmt ist, müissen die Punkte C und D auf demselben Kreise liegen.

Sind a und e, Tangenten an diesen Kreis, dann ist Winkel ab= aubi; daher entspricht der Strahl a des Büschels-P dem Strahl al des Büschels Pi und ebenso el des Büschels P. dem Strahl e des Büschels P.

Anmerkung. Sind die gleichen, daher auch projektivischen Strahlenbüschel P und P entgegengesetzt gerichtet, dann ist der geometrische Ort der Durchschnittspunkte

entsprechender Strahlen eine gleichseitige Hyperbel.

Satz II. Eine um einen Kreis sich drehende Tangente schneidet auf zwei festen Tangenten desselben zwei projektivische Punktreihen ein. In diesen entsprechen die im Schnittpunkte der festen Tangenten vereinigten Teilpunkte den Berührungspunkten der Tangenten.

Beweis: Ist in Figur 22 AA eine beliebige Tangente, welche den Kreis in P berührt, und sind BBi und B B die festen Tangenten, dann ist AOP= PAB und AOP= 1 POBi; folglich A0A= 1 B10 B1= 1(2 R—)= R—*, also constant. Dreht sich aber ein Winkel um seinen Scheitel, dann durchlaufen seine Schenkel zwei gleiche, folglich projektivische Strahlenbüschel, die jede Transversale, also auch jede der beiden festen Tangenten in zwei projektivischen Punktreihen schneiden. Da nun B 10 B= 1 B10 B1= A0A ist, so wird der Punkt A sich in B befinden, wenn A in B ist. Der Punkt B der einen Punktreihe entspricht also dem Punkte B der anderen; ebenso ist B dem l'unkt B homolog.