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Resultate; nur fällt hier der Pol S innerhalb des Kreises und seine Polare LL aulser. halb(Fig. 19). Die involutorische Punktreihe a, 9, y... ær, 9 pr. wird gleichlaufend oder elliptisch und hat demnach keine reellen Doppelpunkte. Die Polare wird ideale Sehne oder Sekante mit imaginären Schnittpunkten, und die von S an den Kreis gezogenen Tangenten oder die von S nach den imaginären Schnittpunkten oder Doppelpunkten der Polaren gerichteten Graden sind ebenfalls imaginär.

§ 6. Normalstrahlen.

In jedem involutorischen Strahlenbüschel giebt es mindestens zwei aufeinander senkrecht stehende zugeordnete Strahlen, welche man Normalstrahlen nennt. Man erhält dieselben leicht mit Hülfe der Kreisinvolution.

Ist nämlich in Fig. 20 a und 20 b P(ab au bi) ein involutorischer Büschel, und wir legen durch den Scheitelpunkt P einen beliebigen Kreis, der die Strahlen a, b, as, bi in den Punkten A, B, Ai Bi schneidet, und ziehen vom Schnittpunkt S der Verbindungslinien AA und BB. die Grade SO durch den Mittelpunkt des Kreises, dann sind, wie sich aus der Umkehrung von II ergiebt, die Durchschnittspunkte C und C dieser Sekante zugeordnete Punkte der Kreisinvolution. Daher sind auch PC und PC zugeordnete Strahlen des Büschels P(abcarbich), die aber aufeinander senkrecht stehen, da sie einen Peripheriewinkel im Halbkreis einschlieſsen.

Lehrsatz I. Die Normalstrahlen eines involutorischen Büschels halbieren den Winkel und Nebenwinkel der beiden reellen oder imagi- nären Doppelstrahlen.

Beweis: Ziehen wir in Figur 20a von S aus die Tangenten SM und SN an den Kreis O, dann werden die Berührungspunkte M und N derselben die Doppelpunkte der Involution P(ABCA B CD)(nach§ 5 V). Daher werden auch PM und PN die Doppelstrahlen der Involution P(abcaub er). Nun ist aber Bogen MC= Bogen N0, folglich MPGC= NPC. Der Normalstrahl P C halbiert also den Winkel der beiden Doppel- strahlen. Ebenso halbiert der Normalstrahl PCr den Nebenwinkel derselben. In einem elliptischen involutorischen Büschel sind die Doppelstrahlen imaginär. Der eine der beiden

stets reellen Normalstrahlen halbiert hier den aufserhalb der Ebene liegenden imaginären Winkel derselben.

Lehrsatz II. Das Produkt der Tangenten der beiden Winkel, welche ein Normalstrahl n mit zwei beliebigen zugeordneten invo- lutorischen Strahlen ai und ax bildet, hat einen constanten Wert und ist gleich dem Quadrat der Tangenten des Winkels, den der Normal- strahl mit einem Hauptstrahl bildet.

Beweis: Bezeichnen wir den zweiten Normalstrahl mit ni und die beiden Haupt- strahlen mit h und h, dann ist nach Formel 7§ 3 und§ 2 S. VI(nnrh a)=(nin h a1)