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Satz III. Durch zwei zusammengehörige Punktepaare der Kreis- involution sind alle übrigen Punkte derselben bestimmt.

Beweis: Verbinden wir(Fig. 18) AA, BB entsprechend und nicht entsprechend, dann erhalten wir den Punkt S und die Punkte β und der Graden LLi. Zu einem beliebigen fünften Punkte C des Kreises erhält man den zugehörigen sechsten C durch Verlängerung von SC bis Ci.

Satz IV. Verbindet man zwei Paare zusammengehöriger Punkte einer Kreisinvolution entsprechend und nicht entsprechend, dann treffen die durch die sich entsprechenden Punkte gehenden Graden ineinem Polunddie durch diesichnichtentsprechenden Punkte gehenden Graden in einem Punkte der zugehörigen Polaren des Kreises zusammen.

Beweis(Figur 18 und 19): Sind AA und BB zwei entsprechende Punkte- paare einer Kreisinvolution, dann schneiden sich AA und BB in S und AB, AB und AB und B A auf der Graden LLu, wie in den Sätzen II und III bewiesen ist. Ziehen wir von S aus Tangenten an den Kreis, dann fallen in jedem der beiden Berührungspunkte M und N zwei Punkte der Kreisinvolution zusammen. M und N sind Doppelpunkte der Kreisinvolution. Die Punkte M und N liegen auf LLi, da sich BM und BM auf LL. schneiden müssen(nach Satz J). Weil aber nun die Grade LLi durch die Be- rührungspunkte der von S an den Kreis gezogenen Tangenten geht, so ist LLi Polare

zu S(Spitz§ 174).

Satz V. Zieht man von einem Punkte sS aufserhalb oder innerhalb eines Kreises zwei beliebige Sekanten SAA und SBB nach demselben, dann bestimmen die Schnittpunkte der Graden Verbindungslinien AB und AiB und AB und AiB auf der Polaren LLu zwei zugeordnete Punkte einer Involution, deren Doppelpunkte die Berührungspunkte der Tan- genten oder, was dasselbe sagt, die Schnittpunkte der Polaren mit dem Kreise sind.(Figur 18 und 19.)

Beweis: Dafs AArBBI zwei Paar zugeordnete Punkte einer Kreisinvolution mit den Doppelpunkten M und N sind, ergiebt sich aus der Umkehrung des Satzes II und aus den Sätzen III und IV. Ferner entspricht Aß dem Strahl PB und AB oder A5 dem Strahl PB. des involutorischen Büschels P, welchem der Büschel A gleich ist. Da nun PB und PB eptsprechende Strahlen des Büschels P sind, so sind auch A9 und A5, zu geordnete Strahlen vom Büschel A. Der Büschel A schneidet also die Polare LL, in einer involutorischen Punktreihe. Je mehr sich nun der Strahl SB B der Tangente nähert, um so näher rücken β und 5 aneinander, bis sie schlieſslich ganz zu- sammenfallen. Alsdann bilden sie aber einen Doppelpunkt, welcher der Berührungspunkt der Tangente ist.

Legen wir unserer Betrachtung statt des hyperbolischen involutorischen Strahlen- büschels, in welchem die Strahlen a, b, c, den Strahlen al, bi, cx in umgekehrter Reihen- folge entsprechen, einen elliptischen Büschel zu Grunde, dann kommen wir zu demselben