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Wie die involutorischen Punktreihen Doppelpunkte, so haben die Strahlenbüschel Doppelstrahlen, die bei hyperbolischen Büscheln reell, bei elliptischen imaginär sind. Bei der involutorischen Punktreihe halbiert der Centralpunkt O und der unendlich ferne Punkt Oi, der ihm harmonisch zugeordnet ist, die Strecken zwischen den beiden Doppel- punkten; bei dem involutorischen Strahlenbüschel halbieren(wie in§ 8 nachgewiesen wird) zwei aufeinander senkrecht stehende Strahlen den Winkel und Nebenwinkel der beiden Hauptstrahlen. Ein Normalstrahl geht im allgemeinen nicht durch den Central- punkt O der Punktreihe.

Erklärung: Legen wir durch den Scheitel P eines involutorischen Strahlen- büschels P(abcarbici) in Figur 18 einen Kreis, dann wird dieser die Graden a, b, C... in den Punkten A, B, C, Ci, Bi, A schneiden. Verbinden wir mit diesen Punkten der Peripherie einen beliebigen anderen Punkt derselben, z. B. P, dann entsteht ein neuer Büschel P(abccrbian), welcher dem ersten P ist, da sämtliche Winkel des einen, denen des anderen als Peripheriewinkel gleich sind. Die Punkte A, B, C, Ci, B Ai, welche die Durchschnittspunkte eines involutorischen Strahlenbüschels sind, dessen Scheitel auf der Kreisperipherie liegt, heiſsen involutorische Kreispunkte.

Satz I. Die Strahlen zweier involutorischen Büschel eines Kreises, welche einen entsprechenden Strahl gemeinschaftlich haben, schneiden sich auf einer Graden.

Beweis(Figur 18): Legen wir an A und Au die Tangenten A« und Aa, dann ist ⸗AB oder A= APB,-A,= APC, AC= APC, etc., und der Büschel A(BCABICI)= PABCAIBSCL), und zwar entspricht der Strahl Ae dem Strahl PA, der Strahl A dem Strahl PB etc. Nun soll P(ABGCAIB CD) involutorisch sein, folglich ist PABCABCI)= P(ABICrABCO)(nach§ 3); ferner ist P(ABCAB Cu) = A(aBCAIB C1) und ebenso P(ABCABC)= Ar(BICrABO), folglich auch A(B CAIB 1CL) A(BCrABC).

Die letztgenannten Büschel sind also involutorisch und zugleich perspectivisch, da sie den Strahl AA und A A entsprechend gemein haben. Die Strahlen dieser beiden Büschel schneiden sich also auf einer Graden LLi, z. B. in f und„4(§ 2 VIII Umkehrung). Nimmt man statt A und Ar zwei andere entsprechende Punkte der Kreisinvolution, z. B. B und B zu Scheiteln des involutorischen Büschels, dann erhält man wiederum zwei perspectivische involutorische Büschel mit dem gemeinschaftlichen Strahlen BB und B B. Die beiden anderen entsprechenden Linien-Paare AB und A Bi und AB: und AB schneiden sich dann in zwei Punkten und 5, welche auf derselben Graden LLi liegen wie oben.

Satz II. Die Verbindungslinien je zweier entsprechender Punkte einer Kreisinvolution gehen durch einen Punkt.

. Beweis(Fig. 18): Die Seiten der beiden Dreiecke A BC und A BiC schneiden sich auf einer Graden LLu, folglich treffen sich die Verbindungslinien A. A, B. B, Cr C in einem Punkte S(nach§ 1).