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OP ist die complexe Abscisse des Kreises und der Hyperbel. PC ist die zuge- hörige complexe Ordinate des Kreises und P C die entsprechende Ordinate der Hyperbel.

Die Ordinate der gleichseitigen Hyperbel ist die imaginär genommene Ordinate des Kreises, welche zu derselben Abscisse gehört, und umgekehrt.

Für α=o und 6= o gehen die imaginären Coordinaten in die reellen der analystischen Geometrie über.

Wird in der Gleichung des Kreises X2+‿ 2= 1, X=I, dann fällt der Punkt P, welcher Endpunkt der Abscisse und Anfangspunkt der Ordinaten ist, zwischen Ar und A. Die Endpunkte M und Ma der Ordinaten liegen auf der Peripherie des Kreises; die Ordinaten PM und P Ma stehen senkrecht auf dem Durchmesser AA, halbieren also in dieser Weise den Winkel APA und sind ihrer absoluten Länge nach die mittleren Proportionalen zwischen AP und AlP. Wird aber X= 1, dann fällt P in die Ver- längerung von A A und der Punkt Ma liegt zwischen A und Ar, der Punkt Mæ auſser- halb A A. Auch hier wird der Winkel AlP Al, welcher= o ist, durch die Graden PM und P Ma, welche mit den Schenkeln zusammenfallen, halbiert.

Bei der Gleichung der Hyperbel X— y²= 1 verhält es sich gerade umgekehrt. So lange X= 1 ist, liegen Ma und Ma auf der x Achse, für X= 1 steht die Ordinate auf derselben und giebt die Punkte der Curve an. Für X= 1 erhalten wir also Punkte der Hyberbel, wenn wir die Kreisordinate imaginär nehmen, d. h. senkrecht zur x Achse stellen, und für x= 1 erhalten wir Kreispunkte, wenn wir die Hyperbelordinaten mit dem imaginären Faktor i versehen.

Für Abscissen= 1 geben die zughörigen Kreisordinaten, wenn sie imaginär genommen werden, reelle Punkte der gleichs. Hyperbel an, und für Abscissen= 1 geben die Ordinaten einer gleichs. Hyperbel, wenn sie imaginär genommen werden, reelle Kreis- punkte an. Wir können daher sagen:

Die gleichseitige Hyperbel ist die imaginäre Curve des Kreises und der Kreis ist die imaginäre Curve der gleichseitigen Hyperbel für ein bestimmtes rechtwinkliges Coordinatensystem.

XZ y 2= 1; X2—(iy) 2= 1, Kreis und imaginäre gleichseitige Hyperbel,

X 2- y 2= 1; X2+(iy) ²2= 1, gleichseitige Hyperbel und imaginärer Kreis.

§ 9.

Unter einem Winkel versteht man die von zwei sich schneidenden graden Linien unvollständig begrenzte Ebene. Die Fläche wächst mit der Abweichung der Schenkel des Winkels und zwar beim Kreis proportional der Gröſse des Bogens der Peripherie. Die Gröſse des Winkels kann aber nur beim Kreis durch den dem Centriwinkel zu- gehörigen Bogen angegeben werden, dagegen nicht bei der Hyperbel.

Um eine Beziehung zwischen trigonometrischen Funktionen des Kreises und denen der Hyperbel zu erhalten, nehmen wir als„Argument“ der Funktionen nicht den un- begrenzten Winkel, sondern die begrenzte Fläche desselben, den Sektor an.