§ 2. Die Potenzen von i mit ganzzahligen Exponenten.

In Kap. I§ 5 haben wir den Wert 1 mit i bezeichnet. Daraus ergiebt sich sogleich i2=(13)2=(12) 127= 171= 1180— 1.

Nun ist aber auch(1)— 1)2=— 1, mithin muls 12= C/— 1) und i=— 1 sein. Das Quadrat von i kann demnach nur als gleichwertig mit— 1 und nicht mit£. 1 an- genommen werden, wie es bei nachstehender Umformung zu sein scheint: S1= /Sd“= /1= 4l. L/— 1 bedeutet die Zahl der Zahlenebene, zu der man kommt, wenn man die Einheit um ₰ 900 aus der Grundrichtung dreht.

/— 12 bedeutet weiterhin die Zahl, zu der man durch eine weitere gleiche Drehung in demselben Sinne gelangt. Dies ist aber nur die Zahl— 1.

Ferner ist 13=(12)3= 132—— 1=— N=. 11=(12)1= 12=+ 1. 1n= 12*=(. 1ẽ= †.

in †t jan. i1= Ti.

in †2= jen ie= 12—— 1.

iin † 4= inn. 3=— V— I. Alle folgenden Potenzen von i liefern wieder dieselben Werte wie die angeführten. Die ganzzahligen Potenzen von i können also nur vier ver-

schiedene Werte erhalten, nämlich oc= Pi, ocz= i?, ocg=— i, 00.=+ 1 (Fig. 7).

§ 3. Complexe Zahlen.

Sollen zwei complexe Zahlen p+ qi= ob und pu+ dii= oibi gleich sein, dann müssen ob und olbi, mithin auch ihre Projectionen p und pi auf die Grundrichtung gleich sein. Dann sind aber auch die aus ob, p, q und olbi, pi, qu gebildeten rechtwinkligen Dreiecke congruent. Es ist also auch q= ql.

Zwei complexe Zahlen sind nur dann gleich, wenn sowohl ihre reellen Bestandteile p und po als auch ihre imaginären q und q über- einstimmen.

Daraus ergiebt sich die Regel für die Addition und Subtraction von complexen Zahlen.