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m— VWa giebt nur den absoluten Wert des Ausdrucks an und ist deshalb constant.

Die Anzahl der Wurzeln hängt demnach nur von dem Drehungsfaktor 1 4ana und dieser wieder von dem Winkel 6 ‿‿ 2 1=— 2u21 2n 1 ab, worin 2u veränderlich ist, da Im m Im

n jede ganze positive oder negative reelle Zahl bedeuten kann. Lassen wiren von Null bis+ m zunehmen, dann erhalten wir m verschiedene

Werte für den Richtungsfaktor, also auch für" 2.

Wird’n gröſser als m, z. B.= m+. 1, dann wird—= 2m= 271+ ²7. Die

Lage der Zahl gegen die Grundrichtung ist also dieselbe wie für die Drehung 22. Für

n=m+ 2 erhalten wir dieselbe Lage wie für n= 2 u. s. w. Die speziellen Werte von n, welche über m hinausgehen, liefern also keine neuen Wurzelwerte. Nehmen wir n negativ an, dann erfolgt die Drehung aus der Grundrichtung in 2n 1. ist 22— 2 7 2(m— n) 7⁰

der entgegengesetzten Ordnung und——

, ein oben

schon angeführter Wert.

m— Die Anzahl der Wurzeln von Va wird also durch den Expo- nenten m angegeben.

m— Soll Wa 12 2u reell werden, dann muſs die zugehörige Zahl auf der Grundrichtung liegen, und— muſs gleich Null oder gleich α sein. Dies ist aber

nur möglich, wenn ein Vielfaches von, etwa pa ist. Dieser Fall tritt ein,

α+ 2n71 m wenn« gleich Null oder ebenfalls ein Vielfaches von π wird.

Soll also eine Wurzel einen reellen Wert haben, dann muſs der Radicand a, selbst eine reelle Zahl, entweder gleich+ a oder gleich— a sein. Nehmen wir an, a sei positiv und n eine ungrade Zahl, dann ist«= o und

m m.— m Vao† snn= Va-l* ang= Val'm

Der die Zahl der Wurzeln bestimmende Quotient u wird nur dann eine ganze Zahl, wenn n= o, n= m oder n= m ist. Sowohl für n=o als für n= m wird v a auf den positiven Arm der Grundrichtung fallen und ein und denselben Wert liefern;

dagegen wird für n= ¾ m der Quotient 2na=„z, und die zugehörige Wurael liefert m

einen zweiten, negativen Wert. Ist a positiv, also«= 2 nr, und ist m ungrad, dann kann r nur dann eine

ganze Zahl werden, wenn n= o oder gleich m wird. In beiden Fällen erhält man nur ein und dieselbe auf dem positiven Teil der Grundrichtung liegende Wurzel,