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Es sei in Fig. 6 0 E= 1, OE= wi, O Eg=w2. OF= wn und 0E= v',
0 E2= I. O0G= Fr, dann ist EEl= w— 1, EiEg= w2— w= w(w— 1); EES= W3— w2= W2(w— 1), EEG EXS 1, G G2=, Ca Cg=. W W”* W
Betrachten wir das Flächenstück ED DiE als Rechteck mit der Grundlinie EEn
und der Höhe ED, dann nehmen wir seinen Inhalt etwas zu groſs an; betrachten wir es dagegen als Rechteck mit derselben Grundlinie und der Höhe ErDi, dann erhalten wir seinen Inhalt zu klein. Allgemein werden wir die Inhalte der Flächenstücke EDCF und DAGE zu grols angeben, wenn wir dieselben als Summe der kleinen Rechtecke mit den bezüglichen Grundlinien E El, Ei Eg, Eg Eg— EEl, E Eg, E2 Eg... und den zu OE, 0 Ei, O Ez. OEi, O0Ez, d. h. zu 1, w, w2.. und v1, w... gehörigen Abscissen als Höhen betrachten. Dagegen werden die Inhalte der erwähnten Flächenstücke zu klein angegeben, wenn wir als Höhen der Grundlinien EEI, Ei Eg.... E E, Ex Eg... die Abs- eissen zu O El, O Ez, O Gr, OGz d. h. zu wi, w2.... und zu 1, w¹, w2... ansehen. Was den ersten Fall betrifft, so werden die zu O E, O EIO Eg..., O El, O0 E.. gehörigen Abscissen der Reihe nach durch die Gleichung= ¼ bestimmt als 1. 34 2s... un 2 2. 2.„und die zugehörigen kleinen Rechtecke sind sämtlich ¾(w— 1), wobei das obere oder untere Vorzeichen zu setzen ist, je nach- dem die Strecken OEx und O0Ex grölſser oder kleiner als der Radius 1 des Kreises
OB sind; nämlich EE. ED⸗=(w 1) ¼, EI Ee.ED= 2= 1)=(v- 1) 8ets. z auch
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. 1 1 nt EEi-ED=(—') Zlr=(1—9) v= w- U;.
Das Stück CDEF des Hyperbelsektors, welches zur Ordinate= wn gehört, ist zwar kleiner als n.X(w— 1), kommt diesem Wert aber um so näher, je gröſser n an- genommen wird.
Die Ordinaten w, w², w6... wn nehmen in geometrischer Progression zu, während die zugehörigen Rechtecke ¾(w— 1), 2. 4(w— 1), 3. 4(w— 1)... n. 1(w- 1) in arithmetischer Progression wachsen. Die Ordinaten verhalten sich zu den zugehörigen kleinen Rechtecken wie die Logarithmanden zu den Logarithmen in Bezug auf eine noch zu bestimmende Basis g.
8 Setzen wir log. w=(w— 1), dann ist log. wn= n.¼(w— 1) und gn. X0Gw y= Wn oder für q2=g, quν-)= OF.
n— qn(21)— 71. Diese Formel soll jedem Werte von„ entsprechen; sie muſs daher auch für den- jenigen giltig sein, welcher den Exponenten von d gleich dem von„ macht, das heilst ; 27, 15 1 1. für denjenigen, bei welchem n(E„„ 141)= 1 und/= 1+ 1, v1= 6(+ 1)*= e ist.
Die Basis q' ist also die des natürlichen Logarithmensystems.