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1 XYm+ 1 1— Aus AG= Im4l folgt 1 1—(8)—ls AB ym—( n,— m 1

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g= 6(— 1)”(für n=). n Entwickeln wir daher 6+ L)n nach dem binomischen Lehrsatz und setzen, wegen n n= Gœ, auch n— 1, n— 2 ete.=n, dann wird g= 141.....

2,7182818= e. Die Logarithmen, für welche die Subtangenten gleich Eins werden, sind also die

natürlichen. Durch diesen Wert von g wird die Subtangente für jeden Punkt der Kurve gleich

Eins, folglich auch für die Punkte xo yo und xI yI. Für ein sehr kleines 1 verhält sich

aber wieder yl: yo= MXxI: Mxo. Da nun Mxi als Subtangente gleich 1 und Xo XIL=

x1= 1 sein soll, so muſs Mx= 1 †41 werden, und da yo dem Wert xo= O entspricht und= 1 ist, so erhält man y= 1+ 1. Nun ist X= log. nat. yi= log. nat.( 4⁴

und xI= 1, daher log. nat.( 4¹ 1(für einen sehr groſsen Wert von n). n

Aus dieser Formel ergiebt sich auch die Richtigkeit der im vorigen Kapitel be-

nutzten Gleichung: e log. nat.( ia) Sir.

§ 2.

Die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel, auf ihren Hauptdurchmesser bezogen, lautet: x2— y 2= 1.

Formen wir diese Gleichung für die beiden Asymptoten OL und OLi um, indem wir das Koordinatensystem um den Winkel(— 45 ⁰) drehen, dann haben wir X= F 4 12+ 1 12 und y=—& 4/ 2+ 1 2 zu setzen. Da aufserdem X Ty= SV 2 und x— y=& 2 wird, so erhalten wir: X2— y2= 2 ½„= 1. ½&= ¼ ist also die auf ihre Asymptoten bezogene Gleichung der gleichseitigen Hyperbel.

Nun ist aus der höheren Mathematik bekannt, daſs die natürlichen Logarithmen die asymptotischen Räume der gleichseitigen Hyperbel darstellen. Schneiden wir mit Rücksicht hierauf von O aus auf der Asymptote OL Strecken ab, deren Längen eine

geometrische Progression bilden, dann werden die zugehörigen Asymptotenräume die-. SNSN

Logarithmen dieser Strecken bilden. ₰☛₰