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Eine andere Form für die Richtungszahl a, erhalten wir, wenn wir, wie in Figur 4 geschehen ist, mit der Einheit AD einen Kreis um A schlagen, den Winkel BAD=« und den Bogen DC=IDB= L. machen. Ist nun das Bogenstück DC sehr klein, dann läſst es sich als eine im Endpunkt D auf der Graden AD stehende Senkrechte betrachten. Man erhält ac=ADTipC= 1 i 2.

Da nun 12 sehr klein ist, so ist, wie im folgenden Kapitel nachgewiesen werden wird, log. nat.(rin)=ir(siehe Kapitel II§ 1) oder log. nat. ac= in, oder log. nat. 12= in; mithinen log. nat. Ir= ia, log. nat.(15) ia, 1og. nat. 1,= 1«, folglich 1. eie, worin e die Basis des natürlichen Logarithmensystems bezeichnet.

Daher auch a. 1.= a. el“.

« bedeutet hierin die Länge des dem Centrumwinkel ⅜α entsprechenden Bogens in einem Kreise vom Radius r= 1.

Eine jede Zahl der Zahlenebene, sie mag reell, rein imaginär oder komplex sein, lälst sich also durch jedes der folgenden Symbole unzweideutig darstellen:

an oder a. 14, ai“, ae“, a(cos« † i sin c), q i. .4.14 A1 Pa

.... 21 7 1 41 In Fig. 1 ist A D= 1,== 30° und ab= 5 300= 5. 1300= 5. i 5= A E'2i, wenn „ 3— wir= 22 annehmen,= 5(cos 30°+ isin 30)= ¾ 13+ zi.

Kapitel II.

In diesem Kapitel soll gezeigt werden, dals für einen sehr groſsen Wert von n

log. nat. 1+ ¼)= 1 und daſs der Inhalt des Sektors einer Hyperbel von der n Gleichung: X2— y2= 1, gleich ³ log. nat.(X+‿ y) ist.

§ 1:

g

Nach der Erklärung des Logarithmus ist ge= y, wenn log. y= x. g 8 g. J

Setzt man in diese Gleichung für x der Reihe nach die Glieder einer arithmetischen

P... 1.....

Progression mit der Differenz—, dann bilden die zugehörigen Werte von y eine geo- n n.—

metrische Reihe mit dem Exponenten]7g.