Eine vierte Erweiterung des Zahlengebietes mulste erfolgen, als man konsequenter Weise auch diejenigen Werte als Zahlen betrachtete, welche sich aus der Erklärung des Radizierens beim Ausziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ergaben. Man erhielt die imaginären Zahlwerte. Diese unterscheiden sich von allen früheren, den reellen Zahlen schon dadurch, dals sie sich nicht mehr, wie diese, durch Punkte einer einzigen Graden, der sogenannten Zahlenlinie, versinnlichen lassen, sondern nur durch Punkte, die einer Ebene oder gar dem Raume angehören.

Von den genannten vier Zahlengruppen sind die gebrochenen und irrationalen Zahlen unmöglich, wenn Dinge gezählt werden sollen. Die negativen und imaginären sind überhaupt dann nicht zu gebrauchen, wenn es sich um wirklich vorhandene oder gedachte Dinge handelt. Es bleibt aber trotzdem noch ein weites Gebiet übrig, auf dem sowohl diese als auch die imaginären Zahlen zur Verwendung kommen können. Daſs insbesondere das Imaginäre ein fruchtbares Hilfsmittel ist, von dem man sowohl bei rein algebraischen Aufgaben als auch bei deren Anwenduugen auf Geometrie, mathematische Geographie u. s. w. mit Vorteil Gebrauch macht, will ich in der folgenden Abhandlung an einfachen Beispielen zu erläutern versuchen.

Um den Gang der Rechnung und die Lösung der angeführten Konstruktions- aufgaben verstehen zu können, ist es nötig, sich mit den Sätzen in Kap. I, II und IV. bekannt zu machen, welche namentlich der Lehre von den Richtungszahlen und der neueren Geometrie entnommen sind. Die Sätze über harmonische Punkte und Strahlen sowie über Pol und Polare am Kreise habe ich als pekannt vorausgesetzt.

Bei den geometrischen Aufgaben, die im V. Kapitel behandelt sind, ist mit Rück. sicht auf den beschränkten Raum von einer strengen Durchführung von Analysis, Konstruktion, Beweis und Determination abgesehen worden. Die Lösung ist meist nur kurz angedeutet, dagegen fast stets an einer Figur hinreichend erläutert.

Kapitel I. Rechnung mit Richtungszahlen. § 1.

Mit dem Namen Richtungszahlen bezeichnet man grade Linien, die durch ihre Länge und Richtung die absoluten und relativen Werte von reellen und imaginären Zahlen angeben können. Nehmen wir z. B. eine Grade L(Fig. 1) als Grundrichtung, einen Punkt A als Nullpunkt der Rechnung und eine Strecke AD als Einheit, dann können wir beliebige andere Strecken auf diese Grade, diesen Punkt und diese Einheit beziehen. Die Grade AB z. B. stellt eine Zahl dar, die soviel Einheiten hat, als die absolute Länge von AD

in der von AB enthalten ist, und die Richtung, in welcher diese Zahl zu zählen ist, weicht ebensoviel von der Graden L, in welcher die reellen Zahlen gezählt werden