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Aufnahme der negativen und der gebrochenen Zahlensymbole. Diese stellen zwar nicht mehr eine Zahl im ursprünglichen Sinne dar, da sie kein Ergebnis des Zählens sind, haben aber wie diese die Eigenschaft, sich nach oben genannten Grundgesetzen umbilden zu lassen, so daſs sich mit ihnen rechnen läſst. Den positiven ganzen Zahlen schliessen sich die negativen an, ebenso den positiven gebrochenen die negativen gebrochenen.

Mit der Einführung der gebrochenen Zahl ergab sich die Notwendigkeit, auch den Begriff der Gleichheit auf den der Gleichwertigkeit auszudehnen.

Zwei Zahlen heiſsen im ursprünglichen Sinne gleich und sind daher auch gleich- wertig, wenn sie beide eine gleiche Anzahl ein und derselben Einheit haben. Man kann aber zwei Zahlengröſsen auch dann noch als gleichwertig bezeichnen, wenn man sie mit Hilfe der bisher als richtig erkannten Operationsgesetze so umwandeln kann, daſs ihre neuen Formen genau dieselben Elemente und jedes Element in gleicher Zahl enthalten. Ist zum Beispiel b genau der nteı Teil von a, dann könnenen Elemente b die Grölſse a vertreten, a ist gleichwertig mit nb. Bringt man zwei gebrochene Zahlen auf gleiche Benennung und sind dann ihre Zähler gleich, dann sind sie gleichwertig.

Als spezielle Fälle der gebrochenen Zahlen erscheinen die unendlichen rein periodischen und unrein periodischen Dezimalbrüche, die wie die endlichen in gemeine Brüche verwandelt werden können.

Gleichwertig können endlich auch solche Zahlengröſsen sein, die aus einer unendlich groſsen Anzahl unter einander verschiedener Elemente bestehen. Dahin gehören alle diejenigen, welche sich in unendliche Dezimalbrüche verwandeln lassen, die weder rein noch unrein periodisch sind.

Verstehen wir unter einem Dezimalbruch im weiteren Sinne eine geordnete Summe von Gliedern der verschiedenen decadischen Einheiten, dann kann ein solcher allen er- wähnten Zahlen des Zahlengebietes und auch noch allen unendlichen Zahlen gleichwertig werden. Wir können nicht nur gewöhnliche Brüche, welche, wenn sie in den kleinsten Zahlen geschrieben sind und im Nenner die Faktoren 2 und 5 gar nicht oder nicht allein enthalten, durch periodische unendliche Dezimalbrüche ersetzen, sondern auch jede ganze Zahl und jeden beliebigen Bruch. Es ist z. B.

5= 4,99999= 0,74999...

Umgekehrt ist auch jeder periodische unendliche Dezimalbruch mit einer ganzen Zahl oder mit einem Bruche gleichwertig. Ein solcher unendlicher Dezimalbruch hat also einen bestimmten endlichen Wert. Die Bestimmtheit ergiebt sich schon allein aus dem Umstande, daſs wir wissen, wie oft jede seiner decadischen Einheiten zu nehmen ist. Diese Be- stimmtheit kommt aber nicht blols den unendlichen periodischen Dezimalbrüchen zu, sondern auch den unendlichen unperiodischen; denn wir können in denselben den Wert einer jeden Ziffer genau angeben, wie z. B. in der Zahl. Da man solche unendliche nicht periodische Dezimalbrüche weder aus ganzen Zahlen noch aus gewöhnlichen Brüchen erhielt, so war man genötigt, sie wiederum als neue Zahlen den bisherigen anzureihen. Man stellte ihnen Symbole gegenüber, aus denen sich ihr Bildungsgesetz erkennen läſst, und nannte sie„irrationelle“ im Gegensatz zu den früheren,„rationalen“ Zahlen.