Ueber die im Pensum höherer Lehranstalten vorkommenden sogenannten imaginären Werte.

Einleitung.

Beachten wir an mehreren Gegenständen nur diejenigen Kennzeichen, welche ihnen allen gemeinschaftlich sind, während wir andererseits alle nicht gleichartigen Merkmale unberücksichtigt lassen, dann erhalten wir durch gleichzeitige Verstellung dieser Wahr- nehmungen den Begriff der Zahlengröſse in ihrer ursprünglichen Bedeutung.

Jedes der in dieser Weise betrachteten Dinge bildet die Einheit oder das Element. Eine Zahlengröſse besteht demnach aus Elementen mit gemeinsamen Kennzeichen und kann durch Hinzufügung von Einheiten vergröſsert und durch Hinwegnahme von solchen verkleinert werden, ohne dafs sich das gemeinsame Merkmal ändert.

Man zählte ursprünglich Dinge, die man als gleichartig ansah, indem man ihnen andere gleichartige Gröſsen, wie Finger, Zehen, Striche, Kugeln und dergleichen, zuordnete und auf diese Weise für die zusammengesetzte Vorstellung derselben ein leicht erkennbares Bild, die Zahl, schaffte. Da nun die Zahlen von der Beschaffenheit der gezählten Dinge unabhängig waren, so konnte man sie auch für sich allein betrachten und erhielt so die unbenannten Zahlen im Gegensatze zu den benannten, die die gezählten Dinge erkennen lassen. Statt der genannten Zahlbilder hat man später Zahlzeichen, die Ziffern, ein- geführt, durch die man im stande ist, jede Zahl zu schreiben, und statt der Ziffern hat man noch später, der Abkürzung des Ausdrucks wegen, Buchstaben gesetzt. Man erhielt auf diese Weise die unbestimmten oder allgemeinen Zahlen.

Die Verknüpfung der Zahlen führte zu dem Geschäfte des Rechnens, dessen drei Grundgesetze das Kommitations-, Associations- und Distributionsgesetz bilden.

Diese drei Gesetze sind in den Formeln a † b= b+a oder(a+† b)+e=(a+)+b, ab= ba oder(ab)c=(ac)b und(a+ b)e= acPbe enthalten und gelten für alle Operationen der Addition und Multiplikation und ihrer Umkehrungen und Ableitungen.

Der Umstand, daſs die Subtraktion für ganze Zahlen unmöglich wird, sobald der Minuend kleiner als der Subtrahend ist, und daſs die Division nicht auszuführen ist, wenn der Divisor nicht im Dividend aufgeht, nötigte zur Erweiterung des Zahlenbegriffs, zur