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Falle eine Spitze erster Art. Wird aber 20 sofort grösser als 2, und bleibt kleiner als 3.

so tritt der umgekehrte Fall ein. Nehmen vir jetzt unsere Annahme, dass s mit wächst von= 0 bis n 2,

zurück, so ist klar, dass ein besonderer Punkt, und somit möglicher Weise eine Aenderung der Convexität auch früher eintreten kann, als n— 2 wird. Nimmt nämlich s früher

ab, wührend w noch fortwächst, oder auch abnimmt(ohne dass der neue Ast den alten deckt), so bleibt die Curve convex, nimmt dagegen ev ab, ohne dass s zugleich abnimmt, so geht die Convexität in Concavität über.

Das Angeführte wird genügen, um zu zeigen, dass die Untersuchung einer Curve in Bezug auf ihre Convexität oder Concavität keine Schwierigkeiten hat. Dass man zur wirklichen Prüfung den Differenzialquotienten von s nach ꝛv zu Hilfe nehmen wird, bedarf wohl kaum bemerkt zu werden. Denn dass man an seinem Null- oder Unendlichwerden die Discontinuität einer Function, an seinem Zeichenwechsel einen Wechsel des positiven oder negativen Wachsens einer der Variabeln bei positivem oder negativem Wachsen der andern Variabeln, und umgekehrt erkennt, ist bekannt.

§. 23.

Um schliesslich auch eine Formel zur Quadratur der Curve aufzustellen, setzen wir fest, dass unter der Fläche(F) die gemischtlinige Figur verstanden werden soll, welche von zwei begrenzten Tangenten und dem zwischenliegenden Stücke unserer Axe der X als geraden Seiten und dem zwischenliegenden Bogen als krummer Seite gebildet wird. Das Differenzial der Fläche ist alsdann ein unendlich kleines Dreieck, von der be- grenzten Tangente am Punkte M, von der am nächsten Punkte M, und dem zwischen ihnen liegenden Stücke der Axe der X gebildet. Der Inhalt dieses Dreiecks, den wir alsbald mit dꝶᷣ bezeichnen wollen, ergiebt sich dann, da der Winkel der Tangente und der nächstfolgenden= o ist,

1„: d= Tang.[Tang.+‿˖(Tang.)] sin(deo), d. h.

(72) dE=(Tang).

cleb,

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