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fangspunktes, beibehalten wollte, da dann ein anderer Punkt Anfangspunkt werden würde. Man kann aber auch den frühern Anfangspunkt von s selbst beibehalten, der ja an sich ganz beliebig genommen ist, und es würde dann, da für a im Allgemeinen ein anderer Werth zu setzen wäre, in unsern Gleichungen nur die Constante einen andern Werth er- halten, die Form derselben also ungeändert bleiben. Dass selbst diese Aenderung der Constanten nur bei einer Verschiebung der Axe der Y, nicht bei einer der Axe der X einträte, braucht kaum erwähnt zu werden.

Scheinbar anders verhält es sich rücksichtlich einer Drehung des Coordinaten- systems, aber auch nur scheinbar. Durch eine Drehung des Coordinatensystems wird, wenn wir uns einen bestimmten Winkel v⁰ denken, einer seiner Schenkel in eine andere Lage gebracht. Denken wir, die Drehung betrüge einen Winkel x nach der einen oder der andern Seite, so würde also z übergehen in ¼%= 0 a, und man hätte, wenn man z01 für aw substituirte, sofort die Gleichung genau in der alten Form, abgesehen von der auch hier eintretenden Aenderung der Constanten.

Wir sehen daher, dass eine Verschiebung sowohl, als eine Drehung des Coordi- natensystems ohne Einfluss auf die Formen unserer Gleichungen ist. Bei der einen ändert sich der Bogen, bei der andern Winkel und Bogen um eine constante Grösse. Nähme man die bekannten Verschiebungen des Coordinatensystems, vermöge deren die Gleichung (7) eine einfachere Form erhält, vor, ehe man die Gleichung zwischen s und ꝛw aufsuchte, so würde man schneller zum Ziel gelangen, weil man die Substitutionen wegen der In- tegration zum Theil nicht mehr vorzunehmen brauchte. Man würde aber specielle An- nahmen über die Coéfficienten machen müssen, mithin nur auf einen oder den andern unserer neun Fälle geführt werden. Die Allgemeinheit der Untersuchung fordert mithin nicht mehr und nicht weniger, als dass wir von der wirklich zu Grunde gelegten Glei- chung(7) ausgingen.

§. 17.

Betrachten wir jetzt zunächst die beiden ersten unserer neun Fälle, nämlich die Gleichungen(16) und(21). Der blose Anblick dieser beiden Gleichungen lehrt, dass sie abgesehen von den Werthen der Coöéfficienten und der Constanten, also der Form nach übereinstimmen, mit dem einzigen Unterschiede, dass bei der zweiten an Stelle der trigo- nometrischen Functionen die entsprechenden Cofunctionen getreten sind. Bedenkt man

nun, dass durch die Substitution=— 0¹, d. h. durch die Wahl einer neuen Axe