Die Elimination des Winkels*¾ ergiebt:

XI[x2“(asinè,+ bcose)— xa“(asinde+ bCos*)]+.= 0 yi[vz'sinAs(asinde+ bcospa)— ys'sinA(asinbe t bcost 1.— 9 Ich setze asimp+ be 08:= E, asinoi— bcosp= Ei“ u, s. w. und erhalte so 5 7 6 A— yi Ge'EasinA— y,'EssinA)+ ve(Ga E SinX— yi Ezsin Ag)— v 1Easine— yz Eisin A-)= o VI(Ve Ez'sinA,—„yeE'sin- A 2 † V2(Va Ei'sinA— v E, inA 3)-— y.(VI'Ee'sinA,— ye Ei'sin Al)= 0

Durch Multiplikation findet man jetzt eine quadratische Gl., welche beide Asymptoten gleichzeitig darstellt. Aus dieser lassen sich die Achsenwerte, sowie die Funktionswerte von„ leicht wieder entfernen.

Der Klammerfaktor von yi? lautet

ye*EaEa sin-As+.= va EeEz'sinzA— y“*z sinAzsinA(EaEa+ EzEa) 2 52 2 ., 7 f—— Lr r2. r Nun ist(wegen 12)] EE““= ke. E 22 2— k3: KaEE= 2 Da ferner wegen 18) EisinA,+ EzsinA,+ EasinA= 0 und Ei sinA+ E sin X,+ Ez'sinA,= o, so folgt: EüEi'sinzA,= EeE.„'sin2 A+ EEz'sin⸗ A— sin Aesin A,(EaE,“+ E'Ez), oder kp kg kô. 1r... 1 4=———+ sin A sinA,(EeE,“+ E⸗ E), vor den Radius des Umkreises von A1A.A, 4r*² 4r: 4r: 3 22 bedeutet

Lässt man die in allen Gliedern der quadratischen Gl. auftretenden gemeinschaftlichen Faktoren weg, so nimmt der obige Klammerausdruck jetzt die Form

—u 2.. 5n), oder

„ 72 1„ 42 8 va'*oa †r va“2, ve ys 4

4 1 4 l1äv— 14.„. 1. + yz2 †. va)(V2o v 02)—(G1 e 5s+ VIFz'9e—= ve“y 9l) an.

G Werden die anderen Klammerfaktoren in ähnlicher Weise behandelt, so ergiebt sich schliesslich die folgende, beide Asymptoten darstellende Gl.: 32) vn ee 54 †. ps' 11)+ v(%ᷣ+ 27— H)+ Se( l y 9e— 1!) yive a: V3(H1 en— 5n)— 20I P vyyalye(64— 9²+ 93)— 21]+ veysVIG 51+ 52+ 5 9)— 2]— o, e LWeee d e enen ier

717 e.

in welcher H=

§ 9. Anwendungen.

Beispiel I. Bei dem Kegelschnitt— yi— v² yz?+f. 2yy— 2yy+. 2vzva= o ist 51= 5.==— 4; G= 48(die Karve ist mithin eine Ellipse. Da=+ 4, so hat die Gl. die in§ 7 verlangte Form. Bedeutet w den Brocard'schen „— F Winkel, so ist L=— 4 ctgw; W= 4 ctgew— 3; a*=(ctgw+ ctgew——- 3) g g 5 F—,—, 2F1— F 81 „2= ctgw— ctg=w— 3); e-=— ctgew— 3; F,= F= E=; r= 37 5 12; 5 V 2 Fa 3; 11 2 V3; ——— 12 2 3 13— 213 Das Centrum fällt in den Schwerpunkt des Fundamentaldreiecks, weil yi“= v2“= y“*)

*) Die Ellipse berührt offenbar die Dreiecksseiten und zwar in den Mittelpunkten derselben Aus diesem Uimstande und aus der jetzt bekannten Lage des Centrums lassen sich die obigen Werte für F., Fe, F⸗. leicht auf elementare Weise ableiten.