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§ 8. Die Koordinaten der Brennpunkte und der Endpunkte der Achsen. Die Gleichungen der Achsen und der Asymptoten.
Auf Grund der bisherigen Resultate ist jetzt die Lage der Brennpunkte leicht zu be- stimmen. Am einfachsten vollzieht sich diese Bestimmung durch Anwendung trimetrischer Koor- dinaten und es würde deshalb pedantisch erscheinen, wollte ich auch hier die barycentrischen Ko- ordinaten in den Vordergrund stellen, also auf diese die Entwicklung gründen und dann erst zu trimetrischen Koordinaten übergehen.
Werden die absoluten trimetrischen Koordinaten des Centrums mit X’ bezeichnet, so er- geben sich für die Brennpunktskoordinaten die Werte X.+ esinp«; X=* esinpe; Xa † esimpz, wo die oberen Zeichen zusammengehören.
Zwischen den relativen Koordinaten XI, X2, xx und den absoluten Xi. Xa, X bestehen
XI X 8
die Gl.—==—=—. Da ausserdem Nisi+ X Se— Xasz= 2, 30 ist Xi Xa X² 7.
2F X u. s. w. Man erhält also für die Brennpunktskoordinaten die Ausdrücke 34 ¾ſ 2 82X+ saxs 4. 2 esin 21nt. esint 1 8 10 4 G+† 8.+. sn)...— ¹1+ s †. Xe So. 29) . esinpe,, Xz t.— uu8+ XE 8,+= X s3), oOder *S Sine. sesine . CS1S1DÄ... 8 es.sinhe,„. t. 1=edii,),.=f.. 12) — 2 30) , esasin,„. 4.— v F)
Die Koordinaten für die beiden Brennpunkte sind, wie es hier geschieht, getrennt an- zugeben, wenn für simpt. sinepe, sinèe nur das eine der beiden Wertsysteme(§) benützt wird. Berücksichtigt man beide Systeme, so ist in den obigen Ausdrücken nur das eine Zeichen notwendig
Die Endpunkte der Hauptachse ergeben sich, wenn in 20) und 30) e mit a vertauscht wird. Hinsichtlich der Nebenachse wäre e mit b zu vertauschen und zugleich hätte man bei der Bestimmung von sinp die oberen Zeichen in 16) zu berücksichtigen.(Im Hetereh Fall könnte man auch die unteren Zeichen beibehalten, müsste aber dann sinp durch cosp ersetzen.)
Da von der Hauptachse jelzt mehr als ein Punkt bekannt ist, so lässt sich die Gleichung derselben leicht aufstellen. Dieselbe lanlet
31)[XI(Xz'Sine— x;'sinh,)+(Xa n 1— x sine)+† Xa(XI sinre— Xz sinpi)= 0 Lyi Ge'sin Agsind— yz sinA, sn).= 0
Diese Gl. gelten auch für die Nehehahse. wenn hinsichtlich des Winkels die oberen Zeichen in 16) genommen werden(oder cosp statt sinp gesetzt wird.)
Die Gl. 31) hätten auch schon früher aufgestellt werden können; sie bedeuten eine Gerade,
ges welche durch den Punkt y“(resp. X) geht und mit den Seiten des Fundamentaldreiecks die Win- kel ꝓ bildet..„ Die Asymptoten haben deshalb folgende Gl.: X[XxZ'Sin(4S+ 2)— X'Sin(pe+)]+.— 0 [vz'sin Azsin(4S+¼*)— yz'sinAgsin(4†+ 1)]— 0 . b wo tg⁵=— ist. A Bemerkung. Dau'b hier als reelle Nebenachse der Hyperbel aufzufassen ist, so müssen die Formeln 12), welche weiter unten zur Anwendung kommen, auf die Form assinzp,— bzcos²h, k 3 = u. S. w. gebracht werden. 81