r7.-: 2 2 2 1. 4 0.„— 0 Wird der Kegelschnitt alivi?+. azsve aasva †. Dateviyg 2aaviy 2azsVeV= 0 von der zu si parallelen Schne myi+ v V 0o geschnitten, so ergeben sich die Schnitt- punktskoordinaten a.. L V. a. a. 4. a.— v 51; m(aas 433)— ais— alz. V 23 ²²)— ais † ai⸗ V und 91„— v;,„, V, V 4—. 2 2 4 2) vo V=I[m(azz— a3z)+ a1s— alg]lz+.f. 5t(2a 3 m— a,:— a3g 1n²) Zur Ermittlung der Länge dieser Sehne dient die Formel 7). Im vorliegenden Falle ist r= 2r),, 8 8. 8₰ 1 . VI vI 4 2 812V 2 = S= 51(1— m),———= 0 und man ſindet: 1=— 3 12 5 512(1— m)* a² b² 51 —. 7 2., 2 2.. 4; 1 Nun ist aber noch 12) a²sin²h,+ b2cos2p, einesteils=——, anderenteils= k—. TI2* 81* 1 1 . 4²5 28 ,² s1 2V2— Daraus folgt:——„ und weiter KH 512(1— n)² 61 91 2 — 2,125b 2 5r(1— m)lahe— 1. 5 2 21. —=[(azn— asg) m+t.(ais— a12)]?+ 9(Laem— an— azgm), mithin 2* 252 25b2 a2b²] 4 a2²b 2. 2 3.— 4 1n ſlaes— A) 51(iga—+ 2m a2— aas)(uig— a22)+† bi(als+ 1) 8 K 21.2 1b a2²5b 2 —(a— 4 2)2— 9,(a——)= 0 F.(an A12 91(al 5 Diese(il. schreibe ich kürzer: miX+ 2m B+ C= 0. Weil die beiden Lösungen für m zu- .„ 1 B C B C sammenfallen, so muss B²2= AC und deshalbm=———==—— ein. A B A B

Ein Blick auf die vorhergehende Gl. zeigt, dass der letzte Bruch den noch unbekannten Faktor k nicht mehr enthält. Das gesuchte m ist mithin jetzt durch bekannte Grössen ausgedrückt.

8

.—.—.. 7 7 Werden die Koordinaten der Endpunkte einer Strecke mit vi, Fe, V, Fl ve v b-

7 .„: N» 3. 4 zeichnet, so sind diejenigen ihres Mittelpunkts:—+—+(oder auch vis+ yIs) u. s. w. Für 8 8

die Mittelpunktskoordinaten der hier in Rede stehenden Sehne ergeben sich also die Ausdrücke .

5 4..... 1. 51, m(agg— aza)+ als— alz, m(a2g— a22)— aig— ats, welche leicht auf die Form

2 2—2 14..— 2.„ 2.„ 3 e a.. 20) a23 d2313 A2d12 7 d2 2 113 P aaaais A22da; 113,— d13123— d13di2- di 1223 Passaus d11433 5 dl2ag deg. 22 413— alldge

. B+OC gebracht werden können, wenn man m durch— In eleganterer Weise lassen sich bekanntlich die Koordinaten finden durch Benützung des Satzes: Der Mittelpunkt ist Pol der unendlich entfernten Geraden. Da yi+ ve † yg= 0 die Gl. der unendlich entfernten Geraden und. . ¹.„.. 7„*„ 2 7.. 7— yI(aliy †. aisyz. a1zya.) N²(a1zy+ augye † A38Y3+ y(aiay1 b a2sve+. aaays)= 0 die Gl. der Polaren von vi', ve“, y; ist, so bedeuten yt, V2, vyg die gesuchten Werte, wenn 3. 4„— 3— 7.1 2 7.—„ 1.. a11)1 at2y? alsyg= atsyi+. a2ey, e aaays= auyt †. aaay+ aagys ist. Die Koordinaten ergeben sich hier in Determinantenform. 5, 1 ai aus a11 1 als a11 a 1 26) 1 1 222 4,3 1;, 412 1 agz, 212 422 1 — 1 aag aaa Die erste Ableitung wurde gewählt, weil sie gleichzeitig den Wert für k liefert.

lle— a12413—

ersetzt und dann die Nenner beseitigt.

a12 1 ag3 aug da 1

. 2bE5 Löst man nämlich die Gl. B²= AC für k auf, so ergiebt sich—. S=„ wo 8

die Summe der in 26) angegebenen Koordinaten und △ die Diskriminante der allgemeinen Kegel- schnittsgl., d. h. den Ausdruck