— 3—

Wircl HictgA+ ꝛctgA⸗+ bactgàa= l. 912+ 932+ 922— 29152— 251 5— 25254= G gesetzt und 17) beachtet, so findet man jetzt:

k—— ———+ 2 G (L.+ 1— ³)

2 k. 23) b²=S L 71 L2-G), mithin ka

—. 16F²

Bei der Ellipse hat a²bz einen positiven, bei der Hvperbel einen negativen Wert. Die allgemeine Gl. stellt also eine Ellipse Oder Hyperbel dar, je nachdem G negativ oder positiv ist.

Die Ellipse geht in einen Kreis über, wenne= o wird. Alsdann muss nach 20) W den Wert o anncehmen, da k eine Grösse bedeutet, die stets von o verschieden ist. Es lässt sich leicht nachweisen, dass die Bedingung G= 0 mit den Bedingungen 4) übereinstimmt. Löst man

— 51 nämlich 17) für- auf, so ergiebt sich— sin A1. 5 008A; Cc08A.. 5,. — 5— e, sinAsinA,——- sin A zEüsinA, sinA 1 sinzA⸗ sin²A,

Hieraus folgt auf der Stelle die Richtigkeit der Behauptung.

Die Hyperbel ist gleichseitig, wenn a²+ be= 0. Dies findet nach 21) Statt, wenn I. den Wert o annimmt.

Die Parabel ist ein Kegelschnitt, bei dem der eine Brennpunkt im Unendlichen liegt. Be- deutet P' den im Unendlichen liegenden Brennpunkt, so sind(§ 3) PQ und 2a unendlich. Als-

... 2„ 7 7*. dann ist es aber einerlei, ob man PO+ PO= 2a, oder PO— PO= 2a setat. Die barabel ist mithin gleichzeitig Ellipse und Hyperbel und es muss deshalb für sie die(rösse G gleichzeitig positiv und negativ sein. Dies ist nur möglich, wenn G= o wird. 3

Zusammenstellung der Ergebnisse: = 0: Ellipse

512+. Pe †.„a— 2916.— 2515—. 25254. 0: Parabel —₰ 0O: Hyperbel 25). — 2 5 5. 4—————— Kreis * sin² A sin² A, sin² A,

HictgA+ ectgä,+ HactgA= 0: gleichseitige Hyperbel.

Die obigen Unterscheidungsmerkmale gelten auch für trimetrische Koordinaten, wenn Hi- 9½, 9s durch die bereits mehrfach angegebenen Ausdrücke ersetat werden. Bezüglich der gleich- seitigen Hyperbel erhält man so die einfache Bedingung

4 3. 24. COs 22, COSA,— 2, COS A.= al+ a2+ aas— 2alscosA— 2aiscosA- 2a2zCosA= 0.

§ 6. Bestimmung des Mittelpunkts und des Faktors k.

Da nach 9), abgesehen von dem noch zu bestimmenden Faktor k, jetzt auch ri, ra. ra bekannt sind, so lässt sich der Mittelpunkt in folgender Wéise bestimmen: Man legt eine Sehne parallel si, ermittelt deren Grösse und setzt letztere dann= 2ri, d. h. gleich der Durchmesser- länge für die angegebene Richtung. Alsdann ist aber diese Sehne eindeutig bestimmt. Ihr Mittel- punkt ist zugleich Mittelpunkt der Kurve.: