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erscheinen sollen, so übernimmt P die Rolle, welchie früller dem Punkte Q zukam und um- gekehrt. Lässt man nun den béliebigen Punkt zuerst nach Xi, dann nach A, und Clliesslich nach A, rücken, so ergeben sich die Gl.

NLNE A+ vILNE S21 T†. v2

.——+ S. PAi* 8. „..— S.PA22 vIe 35+ F. PAA* lier sind PAI. PA,, PA durch die Seiteirr des Fundamentaldreiecks und die Koordinaten des Centrums ausgedrückt. kine einfache Rechnung führt jet⸗t zu der gesuchten Gl. — A, 1. 7) r-+ 8.2————— 8 8 8 y 1. + 2(——— . Beim Uebergang zu trimetrischen Noordinaten ergieht sich: * 7 7 7 T X X2 7)—+ 8——-.). S1 S2 83 5 8

In dieser letzten Gl. ist unter S die Summe SiXI+ X,+ zu verstehen.

Statt die beiden letzten Formmeln als Kreisgleichungen aufzufassen, kann man in ihnen auch die Bezichung erblicken. die zwischen den Koordinaten zweier Punkte und deren gegen- scitiger Entfernung bestehtt. 3

§ 3. Die geometrische Bedeutung der Koefficicenten in der allgemeinen Gleichung der Centralkegelschnitte. ISt O ein l'unkt der Kurve und bedeuten l' und l' zwei Punkte, deren Entfernungen von

2 1.. 7.... den Ecken des Fundamentaldreiecks mit Pi Pz. Pa. Pt P.. ba bezeichnet sein mögen, so be- stehen nach 1) die Gl.

4 v 2 4 2„„. 2 4 v VP, 2+. v ygP/ y,. y. 1 vIDI*+ y 252²+. vaDa=. 1 2Pe de P* 8 ... 72 7—„ 2 . 2 L2bs 2+ ADe 2 e*+ s.0

1

„2 2 2L— ynbi t. yr.Pz ynD„

Betrachtet man nun P' und P' als- Brennpunkte und 2a uls die grosse Achse. So ist bezüglich- der

Ellipse: PO+ P'O= 2a, bezüglich der Hyperbel: PO 1˙0= 2a. Werden die obigen

Werte für PO und PâO in diese beiden Gl. eingesctzt. so ergiebt sich nach Bescitigung der Wur- zelausdrücke eine für beide-Kurven gemeinschatftliche Gl. Dieselbe lautet:*

F*(h+ h. † 16a4 ptph,= Saspe Sap.*) †. 4+ p. 4+ 16a:— 2. p,— 8a2p.— 8a2pe ²)+

4+ pr 44¼ 16a4— 2 p, 2, T— Sazpa— Saspa ²)+.

2p, 2— Pi2pe— 25e* 164— 42p 2— 4a²p,*— 42*pe 2— 4a*p, ²— Sas Se.,(pi ¹pa? 3 Pa 2— pi² 2pa 2— pt 2e 2+ 1644— 4a2p, 2— 442p,*- 4a2p, 2— 4a2—, 2— Sass 2v2xs(Dzpa“ Pe 2hs ²- Pespa ² pe 25s2-164— 442pe— 442e,² 4arps:— 4a2ps ²-. Sa2²)= 0 Der Klammerfaktor von yi? ist offenbar= 1652. wo F den Fläicheninhalt eines Dreiecks mit den Seiten pi, pif, 2a(resp. AiP. ArP’, 2a) bedeutet. Den gleichen Inhalt hat aber noch eine andere Figur. Bezeichnet man nämlich den Mittelpunkt, die Brennpunkte, die Endpunkte der

grossen Achse und die Berührungspunkte der von einem beliebigen Punkte A an die Ellipse oder IHvperbel gezogenen Tangenten mit M. B. B'“, C, C'. T. T', so ist der Flächeninhalt eines Dreiecks