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§ 16. Eine dritte Art singulärer Beziehung tritt ein, wenn D— 34= 0,

weil alsdann der Punkt y auf die Gerade c fällt. Aus der Form der Gleichung des Polkegel- schnitts in Linienkoordinaten folgt, daſs dann die beiden Kernkegelschnitte im Punkte y eine vierfache Berührung haben, und daſs die Gerade c ihre gemeinschaftliche Tangente ist. Der Punkt y ist sich selbst und jedem Punkte der Geraden c doppelt konjugiert. Jedem Punkte dieser Geraden entspricht ein Paar von Geraden, das durch c und die Polare jenes Punktes in Bezug auf den Polkegelschnitt harmonisch getrennt wird; ebenso entspricht jedem Strahl durch y ein Punktepaar, das harmonisch konjugiert ist zu und dem Pole des Strahls in Bezug auf den Polarkegelschnitt. Das irgend einem Punkte der Geraden c entsprechende Paar von Geraden wird erhalten, indem man durch jenen Punkt die zweite Tangente an den Polarkegel- schnitt legt und deren Schnittpunkte mit dem Polkegelschnitt verbindet mit dem Punkte y. Analog konstruiert man das irgend einem Strahle aus konjugierte Paar von Punkten, indem man aus dem zweiten Schnittpunkt jenes Strahls mit dem Polkegelschnitt das Paar von Tan- genten legt an den Polarkegelschnitt. Wir verzichten darauf, auch für diesen Fall durch Transformation auf ein neues Fundamentaldreieck einfachere Gleichungen der Beziehung her- zustellen, und bemerken nur noch, daſs das Verschwinden von D— 34 in der transformierten Gleichung die Gleichheit zweier Koöfficienten nach sich zieht. Für die beiden zuletzt betrach- teten Arten singulärer Beziehungen ist es offenbar gleichgültig, ob man ausgeht von einer Gleichung in Linien- oder in Punktkoordinaten.

Werden endlich D und A gleichzeitig= 0, so zerfallen beide Kernkegelschnitte und es ergeben sich der Punkt y und die durch ihn gehende Gerade c als dreifach zu zählende Ele- mente, deren in beiderlei Sinne entsprechenden Elementenpaare zusammenfallen.

8 17.

In der allgemeinen Beziehung findet, wie wir oben gesehen haben, involutorisches Ent- sprechen statt zwischen den einander doppelt konjugierten Elementen, Punktepaaren auf Strahlen aus y und Strahlenpaaren aus Punkten auf c, die Involutionen bilden in Beziehung auf den Pol-, resp. Polarkegelschnitt. Aufserdem sind nur noch den Punkten y, und z der Reihe nach die Geraden c, s und t vertauschbar zugeordnet. Sollten alle Elemente einander involu- torisch entsprechen, so müſsten Pol- und Polarkegelschnitt identisch werden, was, wie aus den in§ 5 aufgestellten Gleichungen hervorgeht, nur eintreten kann, wenn au= am wird. Alsdann geht aber die betrachtete Beziehung über in die Polarreciprocität.

Es ist immer möglich, zwei vereinigte reciproke ebene Systeme in involutorische Lage zu bringen, indem man durch Verschiebung des einen die der unendlich fernen Geraden in beiderlei Sinne zugeordneten Punkte— die Mittelpunkte beider Systeme— zur Deckung bringt und dann durch Drehung bewirkt, daſs das einem unendlich fernen Punkte in beiderlei Sinne entsprechende Paar von Strahlen zusammenfällt*).

*) Vgl. Salmon-Fiedler,„Knalytische Geometrie der Kegelschnitte“, IV. Aufl. S. 614 u. f. und Fiedler, „Darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage“, II. Aufl. S. 657 u. f.