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das von Euklid und Archimedes bis zu den Mathematikern der Renaissance ziemlich viel benutzt, seitdem etwas in Vergessen- heit geraten war. Pasch kannte es übrigens wohl auch nicht aus der Tradition und hat es erst in der zweiten Auflage seines Werkes mit dem jetzt üblichen Namen bezeichnet. Klein war nicht begeistert von diesem Hilfsmittel. und wollte ihm ein mehr projektives substituieren. Aber das würde den Nachteil haben, daßz es durchaus nicht auf die Anschauung gestützt werden kann.

Auch die übrigen metrischen Axiome(Kernsätze) wurden von Pasch eingeführt. Auf die Notwendigkeit, sie ausdrücklich zu formulieren, hatte schon Helmholtz aufmerksam gemacht. Auf Grund der Eigenschaften von Bewegungen als speziell charakterisierter projektiver Transformationen können dann auch die Bewegungen analytisch dargestellt werden. Damit ist wie- der der vom Parallelenaxiom freie Aufbau der Geometrie er- reicht. Im Vergleich zum Wege von Bolyai und Lobatschew skij ist der Weg, den Pasch in Verwirklichung der Ideen von Klein geht, durch Natürlichkeit und Klarheit der Grundidee ausge- zeichnet und wird von keinem später gefundenen übertroffen. Die Benutzung des Archimedischen Axioms freilich läßt sich vermeiden, indem die projektive Geometrie allein mit Hilfe der Existenz der Gruppe der Bewegungen aufgebaut werden kann, wie zuerst Schur 1898 gezeigt hat. Seiner Ableitung liegt eine Idee von Hermann Wiener(1891) zugrunde.

Damit haben wir ein etwas stilisiertes Gesamtbild von dem Pasch'schen Buch erhalten. Nur noch eine charakteri- stische Einzelheit will ich hinzufügen. Pasch geht wie die Alten aus von dem Begriff der Strecke, aus der die Gerade durch Verlängerung gewonnen wird. Und in der Tat, die Ge-— rade als Individuum ist keineswegs etwas primitiv Anschau- liches, die unbegrenzt ausgedehnte Gerade, so wie wir sie heute meistens schon von Anfang an in die Geometrie ein- führen, ist kaum vor Desargues(17. Jahrh.) als Begriff ge- läufig. Pasch hatte bei dieser Einführung natürlich kein histo- risch-didaktisches Motiv. Es ist klar, daß die primäre Einfüh- rung der Strecke von Pasch als das Natürliche empfunden wurde. Aus Gründen der Sauberkeit und der logischen Ein- fachheit vermeidet er es, den Winkel einzuführen. Nebenbei bemerkt, das Historische interessierte ihn merkwürdig wenig,