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angehörenden Lehrsätze für das beschränkte Raumstück rein logisch abgeleitet werden, zum ersten Male streng; d. h. die Voraussetzungen waren vollständig aufgedeckt, die bisher still- schweigend, unbewußzt, intuitiv angenommen waren. Welch ein Weg von den alten Babyloniern vor 4000 Jahren, die den schönsten geometrischen Lehrsätzen als Beweis einfach das Wort„siehe“ hinzufügten, bis zu Pasch! Wie mußte sich die Sprache der Menschen, ja die ganze Denkart verändern, daß eine solche starre Struktuierung des ursprünglichen Gemisches aus Anschauung und Deduktion möglich wurde.

Dann kommt die Einführung der idealen Elemente, wesent- lich in der schon von Klein skizzierten Weise. Aber jetzt wird in langen mühsamen Deduktionen nachgewiesen, daß man auch für die neuen Elemente Verknüpfung und Anordnung so defi- nieren kann, daß für die Gesamtheit der wirklichen und idealen. Elemente die für den beschränkten Raumteil ausgesprochenen Kernsätze der Verknüpfung und Anordnung im eryveiterten Sinne gelten. Nun kann ein Teil der projektiven Geometrie entwickelt werden. Hilbert hat im Jahre 1899 genau die Sätze angegeben, die auf dieser Stufe gefolgert werden können.

Hiernach kommt die zweite Schwierigkeit bei der Durch- führung des Kleinschen Programms. Um den Punkt 3 zu er-— ledigen, muß man zeigen, daßz man von drei beliebigen Punkten einer Geraden ausgehend durch sukzessive Konstruktion vierter harmonischer Punkte in das Innere jeder Strecke hineinkommen kann. Das kann man auf Grund der bis jetzt ausgesprochenen Kernsätze nicht beweisen, wie Hilbert später(1899) gezeigt hat. Man braucht also einen weiteren Kernsatz. Pasch führt nun hier einen aus der Metrik stammenden Kernsatz ein, nämlich den, daß man durch fortgesetztes Verdoppeln eines Teiles A C einer Strecke AB über den Punkt B hinauskommt. Man kann das Verdoppeln von Strecken leicht mit der Konstruktion vierter harmonischer Punkte in Verbindung bringen und erhält so das gewünschte Resultat über die harmonischen Quadrupel, von dem man auf dem bereits vorgezeichneten Weg zur Begründung der projektiven Geometrie gelangt. Diese Begründung erhält ihren Abschlußz durch die Darstellung der projektiven Trans- formationen in der gewöhnlichen Algebra. Der von Pasch eingeführte Kernsatz ist in der von Pasch gewählten Form identisch mit dem sogenannten Archimedischen Postulat,