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heute durchaus nicht als richtig empfunden. Freilich ge- brauchen wir auch in der strengsten axiomatischen Geomelrie heute noch Figuren und schließen intuitiv mit Hilfe der Fi- guren. Aber wir haben wenigstens die moralische Überzeugung, daß jeder der Schlüsse unanschaulich, rein deduktiv gemacht werden könnte, und mehr kann man zur Zeit nicht verlangen; denn einstweilen ist es ja noch ein unberechenbar weiter Weg bis zur völligen Algebraisierung der Geometrie auf jeder Stufe und in allen ihren Erscheinungen.

Wir führen noch Pasch's eigene Worte aus seiner Selbst- schilderung an:„Von dem, der an der Mathematik weiterbaut, wird von Alters her verlangt, daßs sein Gedankengang sich auf reine Schlußfolgerungen aus dem Vorhandenen zurückführen läßt: erscheinen in dem Gedankengang Begriffe oder Sätze, die dem nicht entsprechen, so sind diese als neue Grundbegriffe oder neue Grundsätze(neue Axiome) zu betrachten. In dem jedesmal Vorhandenen müssen sich daher gewisse Begriffe und

Sätze als Grundbegriffe und Grundsätze erweisen, während alles

andere aus diesen abgeleitet ist..... Auf jeder Stufe der Ent- wicklung... ist das Lehrgebäude der Mathematik erst haltbar,

wenn sich ein in sich widerspruchsfreier Kern herausheben und der ganze Inhalt aus dem Kern folgern läſst.“

In die Gesamtheit der Strukturuntersuchungen reiht sich die Arbeit von Pasch so ein, daß er versucht, zu den einzelnen fHlauptgebieten, der Geometrie und Krithmetik, eine Sammlung von Kernsätzen zu finden, aus denen alle anderen Sätze rein deduktiv folgen, und die ihrerseits wieder möglichst einfach aus der Anschauung entnommen werden können. Er hat dann auch, noch tiefer dringend, die Struktur der Verknüpfung von Kern- sätzen und allgemeinen Lehrsätzen untersucht. Darauf werden wir spälter zurückkommen.

Nun gehen wir dazu über, das Buch selbst zu betrachten. zZunächst werden die nicht metrischen Eigenschaften der Ebe- nenstücke, der Strecken und der Punkte auf diesen Gebilden auf eine Anzahl Kernsätze zurückgeführt. Bei der sorgfältigen Zergliederung der mathematischen Schlüsse entdeckt Pasch hier, woran bisher die Geometer von Euklid an blind vorüberge- gangen waren, die Kernsätze für die Anordnung der Punkte auf einer Strecke, der Punkte und Strecken eines Ebenen- stückes. Jetzt konnten die einfachsten der projektiven Geometrie