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verhältnis. 4. Mit Hilfe der beiden Sätze über das Doppelver- hältnis ist die projektive Geometrie leicht aufzubauen, etwa in der Art der„Geometrie der Lage“ von Chr. v. Staudt(dessen Lehrstuhl in Erlangen F. Kklein eine Zeitlang inne hatte). Klein hatte aber diesen Gedankengang nur skizziert, und seine Durchführung bot einige erhebliche Schwierigkeiten. Zu- nächst mußste Punkt I abgeändert werden, was natürlich Klein selbst bemerkt hatte. Gerade die Einführung der unendlich- fernen Ebene erfolgt ja auf Grund des Parallelenaxioms. Was war ohne das Parallelenaxiom zu machen? Bolyai und Lobat- schewskij hatten die Nicht-Euklidische Welt mit den unendlich- fernen Elementen als Grenzen der endlichen Elemente abge- schlossen. Zwei Geraden einer Ebene hatten dementsprechend einen endlichen Punkt oder einen der beiden auf jeder Geraden gelegenen unendlichfernen Punkte oder gar keinen Punkt ge- meinsam. Hier entstand also zunächst ein großer Widerspruch mit den projektiven Verknüpfungsregeln, die ausnahmslos gelten müssen. Dies Problem hatte schon Klein erfaßt und konnte zu seiner Lösung gelangen, weil er als Repräsentanten der Nicht- Euklidischen Geometrie die von Cayley aufgestellte künstliche Geometrie erkannt hatte. Da sah klein, daß die supraunend- lichen Elemente, die Elemente, die jenseits der Grenzen des metrisch Erreichbaren liegen, als Zentren von Geradenbüscheln resp. als Axen von Ebenenbüscheln aufgefaßt werden können, ebenso wie man durch eine Schar von Parallelen einen unend- lichfernen Punkt bestimmt usw. So sagt er:„Hier anknüpfend kann man rein geometrisch solche idealen Elemente definieren, wobei nur Übung dazu gehört, um sich gerade so sicher in diesen idealen Gebilden wie in den gleichbenannten wirklichen Gebilden zurecht zu finden“(1873). Hier setzt Pasch ein, aber mit einer ganz anderen Einstellung wie Klein. Ihm genügl nicht die Sicherheit, sich in diesen idealen Gebilden zurechtzufinden, sondern er will ihre Eigenschaften vollständig auf die Eigen- schaften der wirklichen Gebilde zurückführen. Denn wenn man für die wirklichen Gebilde noch die Anschauung als Lei- terin der Schlüsse zulassen kann, für die idealen Gebilde be- steht ja nur das Vertrauen, daß sich dort dieselben Verhältnisse vorfinden wie bei den wixklichen Gebilden. klein macht aus Antipathie gegen die nicht intuitive, sondern rein logische Schlußweise in seiner eigentlich künstlerischen Einstellung einen