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Mathematik des 19. Jahrhunderts, mit den Bestrebungen, die Substruktur des hohen Baus der Mathematik, speziell der Arith- metik und der Analysis, zu erkennen. Zu derselben Zeit wie Pasch stand auch Georg Cantor unter dem Einfluß der Vor- lesungen von Kronecker und Weierstraß. Es ist merkwürdig, wie dasselbe Milieu so ganz Verschiedenes in den beiden ver- schiedenen Männern hervorrief. In Cantors dem Mystisch-Spe- kulativen zugeneigtem Geist entstand aus den Weierstraß'schen Grundlagen der Analysis die Mengenlehre, die weit über das direkt menschlich Anschauliche hinaus die Regionen des Trans- finiten bewohnt, wo der Mensch sich über sich selbst schwingt und den verschiedenen aktual- unendlichen Individuen, den freien Schöpfungen der Phantasie, anschauliche Namen erteilt und sie miteinander verknüpft nach den in den Regionen des Anschaulichen geltenden Gesetzen. Pasch dagegen führte das Gehörte dazu, überall in seinen Vorlesungen, ob sie nun das Gebiet der Geometrie oder der Analysis betrafen, auf den Grund zurückzugehen und immer eingehender und liebevoller ins Einzelne auflösend diesen Grund zu betrachten und darzu- legen. Das entspricht eben seiner besonderen Anlage, die sich, wie er in seiner Selbstschilderung sagt, schon auf der Schule gezeigt und ihn eigentlich zum Studium der Mathematik ge- führt hat.

Und nun gehen wir einen Schritt näher an das Buch heran. In der Vorrede heißt es:„daß die projektive Geometrie unab- hängig von der Parallelentheorie besteht und sich ohne deren Zuziehung begründen läßt, hat zuerst Herr F. Klein bemerkt und mehrfach erörtert.“ Kleins Gedankengang war etwa so: r. Die Verknüpfungen von Punkten, Geraden und Ebenen sind nach Einführung der unendlichfernen Elemente, der unendlichfernen Ebene und ihrer Punkte und Geraden, projektiv invariant. 2. Die harmonische Lage von zwei Punktepaaren ist projektiv invariant, wie sich leicht aus den räumlichen Verknüpfungen ableiten läßt. 3. Durch sukzessive Konstruktion von harmonischen Quadrupelu kann man von drei gegebenen Punkten einer Geraden aus- gehend ein beliebiges Punktquadrupel dieser Geraden annähern. Durch diese Konstruktion ist jedem Punktquadrupel eine Zahl. zugeordnet, das sogenannte Doppelverhältnis, das bei Projektion unverändert bleibt. Drei Punkte auf einer Geraden haben nur mit einem vierten Punkt der Geraden ein vorgegebenes Doppel-