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Methoden der Algebra zur Bewältigung geometrischer Probleme anzuwenden. Es handelt sich hier hauptsächlich um solche Me- thoden, die im zweiten Viertel des vorigen Jahrhunderts ge- schaffen wurden und deren glänzendster Vertreter Otto Hesse in Heidelberg war. Das Hauptmittel dieser Methode war der von Jacobi und Cayley geschaffene Determinantenkalkül, ferner die Identitäten zwischen Formen, d. h. solchen Poly- nomen, deren Glieder sämtlich denselben Grad in den Vari- ablen haben. Diese Methode ist in der Folgezeit außerordent- lich bereichert worden durch das Hinzukommen neuer Kalküle, nämlich des Rechnens mit Zahlkomplexen, entweder mit be- stimmten höheren komplexen Zahlen wie den Größsen von Graßmann und Hamilton, oder mit den allgemeinen Komplexen von ne Zahlen, den sogenannten Matrizen oder Tensoren. Der Determinantenkalkül ist nur ein ganz spezieller Fall dieses Matrizenkalküls. Diese neuen Methoden, die schon vor Beginn der Tätigkeit von Pasch entstanden waren, hat Pasch nie ange- wandt. Ihm lag das Mystisch-Revolutionäre fern, das mit der Vorliebe für das Operieren mit überanschaulichen Größsen eng verbunden ist.

Den wichtigsten Untersuchungsgegenstand in der alge- braischen Geometrie bilden die Invarianten, das heißst solche Ausdrücke in den Koeffizienten einer Form oder einer Trans- formation, die bei projektiver Transformation erhalten bleiben: Bei einer projektiven Transformation möge die Form mit den Koeffizienten a in die Form mit den Koeffizienten a' über- gehen und eine Funktion I der Koeffizienten a gleich derselben Funktion der Koeffizienten a' sein, abgesehen von einem Faktor. der nur von der projektiven Transformation abhängt. Dann nennt man I eine Invariante. Es ist klar, daß diese Invarianten die größste Rolle bei der Untersuchung der projektiven Eigen- schaften der geometrischen Gebilde spielen müssen. Die Inva- riantentheorie wurde teils kurz vor Pasch'’s Beginn, teils mit diesem zusammenfallend erweitert einerseits durch symbolische Prozesse, also eine Art Invariantenkalkül, andrerseits durch Auf- deckung einer höheren Art von Invarianten, der Elementar- teiler, die nicht algebraische Funktionen der Koeffizienten sind, sondern ganze Zahlen, die von den Teilbarkeitseigenschaf- ten gewisser Koeffizientenausdrücke abhängen. Auch von diesen Methoden hat Pasch keine Anwendung gemacht, ebensowenig