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Wir verbinden nun§i mit Se mit einem einfachen stückweise analytischen Bogen Ciz usw. bis Ss mit Si durch Car; diese Bogen sollen untereinander punktfremd sein und auch mit den Scheiben, die sie verbinden, nur die Endpunkte gemein haben.

Zur Vorbereitung des Beweises werden wir Ausschnitte aus dieser Konfiguration, ihre UÜberlagerungen in der Fläche W und deren schlichte Bilder näher zu untersuchen haben. Ohne Ein- schränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß alle Scheiben im Endlichen liegen.

3. Schlichte Abbildung von W. Die Fläche W kann nach dem Hauptsatz der konformen Abbildung schlicht abgebildet werden in den Kreis 2= R= od; und es ist gerade unsere Auf- gabe festzustellen, ob R= 00(Grenzpunktfall) oder R= 00 (Grenzkreisfall) eintritt.

Die Abbildung erfolgt durch eine Funktion z(w), deren Um- kehrung w(z) eine in 2— KR meromorphe Funktion ist und als

Erzeugende von W benzeichnet wird.

4. Eine Scheibe. Betrachten wir nun eine Scheibe S. W überdeckt S mit gewissen Flächenstücken S, die alle mindestens zweiblättrig sind. Ihnen entsprechen in der z-— Ebene vermöge der Abbildungsfunktion 2(w) gewisse Gebiete, die wir als Scheibenbilder S bezeichnen.

Ist ein S endlich-vielblättrig, so wird sein Scheibenbild S einem Teilkreise 2=r K angehören oder, wie wir sagen wollen,„im Endlichen geschlossen sein“.

Ist dagegen ein S unendlich-vielblättrig ¹), so muß das Scheibenbild S dem Kreise 2= K beliebig nahe kommen; oder,

wie wir auch sagen werden,„ins Unendliche reichen“ ²).

5. Bogen. Neben den Scheiben betrachten wir abgeschlossene analytische Bogen C in der w-Ebene, ihre Uberdeckungen C in

¹) Das ist insbesondere der Fall, wenn W eine nicht fortsetzbare Fläche ist und das betrachtete S eine Randstelle der Fläche enthält. Vgl. 9. ²) Für endliches R im Sinne der hyperbolischen Geometrie.