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Scheibensätzen zu suchen. Wir übertragen hier die Ahlfors'sche

Methode vom Falle des Dreischeibensatzes auf einen anderen sehr wichtigen Grenzfall und beweisen den Fünfscheibensatz.

Fünfscheibensatz. Ist die Fläche Wüber fünf frem-— den Scheiben§r(= 1.. 5) in allen ihren Teilen verzweigt, derart daß keine dieser Scheiben von einem schlichten Blatt überdeckt wird¹), so ist die Fläche grenzkreisartig.

Diesen Satz hat Xhlfors[2, 5] mit einer kurzen Beweisskizze angegeben, den Beweis mit funktionentheoretischen Mitteln aber nicht ausgeführt. Unser Beweis folgt in einigen Punkten der Ahl- fors'schen Skizze, benutzt aber eine Reihe von Verbesserungen

die die funktionentheoretischen Methoden seitdem verschiedent- lich erfahren haben.

A. Vorbereitung des Beweises.

2. Durchgehende Annahmen für den Beweis. Dem Beweise des Fünfscheibensatzes legen wir folgende Konfiguration zugrunde:

Die fünf Scheiben Sr([¶•Oͦä= 1,... 5) mögen analytischen Rand haben. In der ganzen Arbeit setzen wir immer, wenn von einer Scheibe G die Rede ist, die folgende Uberdeckungseigenschaft voraus: Die Riemannsche Fläche WQüberlagert§ mit gewissen Flächenstücken S, die alle mindestens zwei- blättrig sind.

¹) Den Fall, daß eine noch so kleine Scheibe von W gar nicht oder im ganzen nur mit endlich vielen Blättern überdeckt würde, können wir aus- schließen; denn dann wäre die Fläche schon nach dem Liouvilleschen bzw.

Picardschen Satze grenzkreisartig.

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