Rande R von B verschwindende Potentialfunktion und verhält sich in B regulär mit Ausnahme des Quellpunktes, wo sie loga- rithmisch singulär wird.

Die Bildkurven der mit dem Einheitskreis konzentrischen Kreise= 9= 1 heißen die Niveaukurven der Greenschen Funktion des Bereiches B; auf ihnen ist

(2) G(æ, g; 8, 7))=— lgo= c,

wo’c eine positive Konstante ist. Die zu(2) gehörige Umkehrfunktion sei die Funktion

(3) 2= F()= ₰ a, 257,

2—0

und zwar sei sie schon diejenige Funktion, die den Nullpunkt = O0 in den Aufpunkt 2z= der Greenschen Funktion über- führt: do= 6. Der Inhalt eines von der Niveaukurve(o) be-

renzten Teilbereiches B von B ist dann gegeben durch 3 g

9 2 0 (4) FE(C)= Jſ[p(ei*) 29dodoö= z Nn a, 20². 0 0 22—1—

Vollzieht man den Grenzübergang 9— 1, so ergibt sich für den Flächeninhalt des Gesamtbereiches

00 (5) FE= ee e. 7=1

Die Darstellung von F(e) gestattet uns, der Frage des Wachs- tums des Inhaltes der Teilbereiche mit dem Radius 9 des ent- sprechenden Kreises der-Ebene nachzugehen. Zu diesem

F0) und F(O); werden

9 0 8 sie als Funktionen von g in einem rechtwinkligen Koordinaten-

Zwecke untersuchen wir die Funktionen

system aufgetragen, so liefern sie je eine monoton wachsende, nach unten konvexe Kurve. Es ist

2 F 9² 91 9² 9¹ Dabei kann das Gleichheitszeichen dann und nur dann stehen, wenn aa= As=... d„ 0 ist, d. h. wenn der Bild-

bereich B ein Kreis um= ag ist. 11