Alle diese Charakteristiken des Bereiches B hängen mit der Abbildungsfunktion ſ() zusammen und müssen sich demnach auch durch die Koeffizienten an ausdrücken lassen. Man kann nun die Frage aufwerfen, wie sich die Eigenschaften des Be- reiches B und diese seine Charakteristiken in den Koeffizienten der Reihe(1) spiegeln und umgekehrt, was man für Schlüsse von den Koeffizienten auf diese ziehen kann. Dieser Fragenkreis tritt als Analogon neben denjenigen, der sich mit der Wechsel- beziehung von Funktion und Koeffizienten ihrer Potenzreihe beschäftigt, und überschneidet sich auch mit diesem. In diesem Zusammenhange sei auf die Ergebnisse von Löwneri¹) und Gronwallz²) und von R. Nevanlinna) über die Koeffizienten einer Potenzreihe, die den Einheitskreis auf einen konvexen bzw. sternigen Bereich abbildet, hingewiesen.

Bei Untersuchungen dieser Fragen wird man auch die an den Bereich B fest geknüpfte Greensche Funktion G(æ, h; S, y) heranziehen und ihre Beziehung zu den Koeffizienten näher untersuchen. Vor allem wird dann die explizite Darstellung des ersten Eigenwertes der Randwertaufgabe(3), für die ja der Kreis die beiden bekannten Minimaleigenschaften besitzt¹), interessie- ren. Dieser erste Eigenwert läßt sich ausgehend von der Integral-

gleichung ⁸* 8

à(x, J)=(GG*νν S,) à(S, 7) dE d= 4

mit Hilfe des von H. A. Schwarz angegebenen Verfahrens der sog. Schwarzschen Konstanten konstruieren. Dieser so einfach anmutende Weg erweist sich aber wegen der Kompliziertheit der auftretenden Integrale der iterierten Kerne als nicht gangbar; er führt aber immerhin zu einer Betrachtung von Integralen der Form

[G, g; s,)'dædg(.= 1, 2, 3.). B

Auch das von Kellogg(Math. Annalen 86) angegebene Ver- fahren iterative. Konstruktion einer Eigenfunktion und des

) Leipziger Berichte Bd. 69(1917).

) Gomptes Rendus Bd. 162(1916).

3) Oversikt av Finska Bd. 63(A) Nr. 6.(1920/21).

) Vgl. Courant, Math. Ztschr. Bd. 1(1918) bzw. Faber, Münch. Ber. 1924 und Krahn, Math. Ann. Bd. 94(1925)

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