Einleitung.

Eine im Einheitskreise der Ebene reguläre analytische Funktion 2= /†(⁰) läßt sich dort in eine konvergente Potenzreihe entwickeln:

1) 1)= N a, w„ „= 0

und vermittelt eine Abbildung des Einheitskreises auf einen Bereich B der z-Ebene. Dieser Bildbereich ist einfach zusammen- hängend und soll von einer einzigen Jordan-Kurve R begrenzt werden. Setzen wir weiterhin voraus, daß der Bereich B end- lichen inneren Inhalt F hat, so konvergiert

7 2 lim 1[V(oeis) 2gdedo= lim a N na, 272 0

r= 10 1-91 n= I1

und stellt den Inhalt von B:

(2) F= a n e 2= 1 dar.

Der Inhalt und ebenfalls der Umfang, überhaupt die ganze Gestalt des Bildbereiches werden von der abbildenden Funk- tion †(w) bestimmt. Sie hängen also von den Koeffizienten der Potenzreihe(1) ab, und zwar der Inhalt nur von den Absolut- beträgen dieser Koeffizienten. Neben Inhalt und Umfang be- sitzt der Bildbereich B noch andere ihm eigentümliche Charak- teristiken wie z. B. seine Greensche Funktion der ersten Rand- wertaufgabe der Potentialtheorie und deren Integrale, ferner sind auch die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Randwert- problems

(3) Au+ 1à2= O0, 2 E= 0

durch den Bereich B eindeutig bestimmte Größen.