zugehörigen Eigenwertes führt auf dieselben Integrale der ite- rierten Kerne.

In der folgenden Arbeit werden wir für einige Charakteri- stiken eines einfach zusammenhängenden Bereiches den Zu- sammenhang mit der Kreisabbildungsfunktion angeben und untersuchen. Im§1 werden wir eine Lösung für das isoperi- metrische Problem durchführen. Der dort zu gebende Beweis erinnert in seinem Prinzip an den von A. Hurwitl) mit Hilfe der Fourierschen Reihe gelieferten. Im§ 2 werden wir eine Be- trachtung über die Inhalte der von den Niveaukurven der Greenschen Funktion begrenzten Teilbereiche von B anstellen, verschiedene Integrale untersuchen und sie durch die Koeffi- zienten der Potenzreihe ausdrücken. Ferner werden wir eine Ungleichung für das Integral der Greenschen Funktion, erstreckt über B, beweisen, die wir dann im§ 4 zur Abschätzung des ersten Eigenwertes benutzen werden. Im folgenden§ 3 beschäf- tigen wir uns mit der funktionalen Abhängigkeit der Koeffi- zienten an der abbildenden Potenzreihe vom Bildpunkte e=&+ 2n (Quellpunkt der Greenschen Funktion von B) des Nullpunktes der-Ebene. Diese Abhängigkeit wird in gewissen Rekursions- formeln zum Ausdruck kommen, aus denen wir dann noch einige Folgerungen ziehen. Der§ 4 bringt Untersuchungen über die Eigenwerte des Bereiches B, in denen Resultate des§ 3

. 1 4%. benutzt werden. Insbesondere werden wir zeigen, daß F die

untere Grenze für l1, also auch für das Spektrum der Eigen- werte ist.

§ 1. Das isoperimetrische Problem.

Diesen Namen trägt bekanntlich die folgende Problemstel- lung: Es ist diejenige Kurve unter allen ebenen rektifizierbaren Jordankurven von gegebenem Umfange L, die den größten Flächeninhalt E einschließt, zu suchen. Die Lösung dieses Pro- blems ist äquivalent mit dem Beweis der sog. isoperimetrischen Ungleichung (1¹) L=- 4 x 20 und der Bestimmung derjenigen Kurve, für die in dieser Un-

1) Courant-Hilbert, Methoden der math. Physik.

—