Betrachtet man daher

(29) Fr()= VCf(X)— Cx), so ist„fast überall“ (30) FEr-()= f”()— c..

Man kann nun analog wie bei Lebesgue ¹) zeigen, daß die letztere Relation für eln beliebiges c gilt. Denn zunächst gilt sie mit Ausnahme einer Nullmenge für alle rationalen c, und die Ungleichungen

h †h 9„ h V(f(X)— ca X)— V(cn— p) X T VIf(X)—„ X] 9„ 9„ 9„

†h 9fh

=VCf(X)— cn X)+ V(CCn— p) X. h 0 9 9

(und die entsprechenden für h 0) zeigen, daß, wenn für einen Punkt ϑ die Gleichung(30) für alle rationalen c gilt, sie auch giltig bleibt für jedes irtationale y. Wir bekommen also schließlich den Hilfssatz 1: Schießt man eine Nullmenge aus, so hat 9 9 F)— 1 d(f(x)— cx)= V(fX)— cx) . a 8 f'(9)— c] zur Ableitung, was auch c für einen Wert haben maxg.

Wenden wir das auf f( ‧+ a)— f(— a)— 2af() und f(6+ ¹). f9— a) an, so bekommen wir, wenn wir bedenken, dabß allgemein

VIfG— a)— f(G— a)— 2af()] IVIfG+ a)— af()]

+ VIfGG— a)+ †(6)) Vli GO+ a) fGO—)] EVIfG+ a)— af'( VIfGO ¹) at(9)) ist, den Hilfssatz 1 Es gilt für fast alle dϑ: t

lim[ddεε— ‿1- 2tt G)= 0. t—o 45

¹) Lebesgue kl., Leçons sur les sérles trigonométriques, S, 13; vgl. de la Vallée-Poussin loc. cit. Bd. II 2. Aufl. 1012, S. 115 Remarque.