§ 4.

Das Riemannsche Summationsverfahren.

Es sei wieder(1) die gliedweise differentiierte Fourier- reihe einer Funktion beschränkter Schwankung f() mit der Periode 2z, und(2) die zu ihr konjugierte trigono- metrische Reihne. Dann behaupten wir:

Satz 10: Die Reihe ist fast überall summierbar mit der Riemannschen Summationsmethode, d. h. integriert man (2) gliedweise zweimal, und bedeutet 5(9) die Summe der gleichmäßig konvergenten Reihe, die dadurch erhalten wird, s0 existiert:

ſir(+.)+(—)— 29 9) 2— 0 a2 „fast überall“.

Beweis: Es ist zunächst keine Beschränkung der All-

gemeinheit, Wenn wir setzen:

77 1 19) dso=o. —n

Dann ist: 9

rG)= ſ f(c) dt 5 wieder periodisch, d. h. Fꝙ+‿ 22)= F(9). Durch partielle Integration bekommt man dann:

1(o=y( 0)= 2119) 47 1(5) 4t 8 FG+)— FG)— 2209) 4 Q F(G— 2)— 22109) 42 sin?(2)

71 1 F G t)= F t)— 2tf(9) t — cos dt. 442 sins(*) 2

8

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