N BLfGS. u—9 P(9) 5 169) 1 g(u) ctg 2 du N 1 — 7 1 f(u) du, (22) N — 1 1„ 0(2)= 2 269)„ f(u) cig—— d — N N 1 g(u) du

Dadurch sind die Funktionen P(9) und O(9) bis auf eine Nullmenge bestimmt. Soll die Randfunktion mit der Belegungsfunktion h(t) übereinstimmen, so muß„fast überall“ f(O)= P(9), g()= O(9) sein, was für f() und g(9) als Bedingung die Hilbertschen Reziprozitätsformeln(8) ergibt. Wir fassen diese Ergebnisse in einen Satz zusammen:

Satz 9. Das Cauchysche Integral(20) strebt„fast überall“ bestimmten endlichen Randwerten zu, wenn man sich auf Wegen nähert, die den Einheitskreis nicht berühren. Diese Randfunktion ist gleich P()+ iO(), wo P(9) und O(9) durch(22) gegeben sind. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Obereinstimmung der Randfunktion mit der Belegungsfunktion h(t) ist das Bestehen der Hilbertschen Reziprozitätsformeln(8) für den reellen und imaginären Teil der Belegungsfunktion.

Etwas weitergehende Resultate lassen sich erzielen, wenn man das Cauchysche Integral in der Stieltjesschen Form:

da(t)

t-2 schreibt, Wo 2(t) eine Funktion beschränkter Schwankung bedeutet.