——

— 7—

Aus dem Schwarz'schen Lemma) folgt dann C= Ca 1. Die Cx bilden also eine monoton abnehmende Folge. Um zu beweisen, daß sie einem Grenzwert C= 0 zustreben, ziehen wic die Modulfunktion heran. Mit ihrer Hilfe können

wir die UÜberlagerungsfläche mit der Signatur(๠22 33)

gegenseitig eindeutig und konform auf das Innere des Ein- heitskreises abbilden. Wir nennen diese Abbildungsfunktion

y= f G. Sie ist auch in der Uberlagerungsfläche mit der Signatur

24 83.2n) eine reguläre und eindeutige Funktion des

Ortes. Speziell kann sie so normiert werden, daß der Punkt Po bei der durch f(x) vermittelten Abbildung in den Nullpunkt übergeht und die von Po ausgehenden Richtungen parallel übertragen werden. In der Umgebung von Po gilt dann die Entwicklung

y=f(T)=C(r=Xo) P(x.- X); C= 0. Diese Funktion †(x) ist insbesondere auch in jedem Bereich Tr eindeutig und regulär. Während aber auf dem Rande von II r= ist, ist dort f(x)= 1. Nach dem Schwarz'schen Lemma ist deshalb C= C. Daraus folgt, daß die Cx einen von Null verschiedenen, positiven Grenz- wert C haben.

Wir beweisen aus dieser Tatsache, daß die Funktionen r(r) mit unendlich wachsendem Index einer Grenzfunktion

F(x) zustreben, die die gegenseitig eindeutige und kon- forme Abbildung der UÜberlagerungsfläche auf das ganze Innere des Einheitskreises vermittelt.

Dazu schicken wir einige flilfsbetrachtungen voraus. Durch

*

00 1 I k J=(+)- er or X 4-— K= 2 1¾ 6 e— 0

¹) Schwarz, Gesammelte Abhandlungen II(1890) S. 108 ff. Carathéodory, Mathem. Ann. 72(1912) S. 110,