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Strecke(au, au†) des positiven Ufers bezeichnen wir mit (ax, ax-†:*, die Strecke(ax, ax†) des negativen Ufers mit

(aw, an+,) Wir nennen diese Strecken auch Seiten.

Nunmehr stellen wir uns unendlich viele Exemplare der so zerschnittenen x-Ebene her. Wir gehen von einem von ihnen aus und schmelzen längs jeder Seite ein neues Exem-

plar der X-Ebene so an, daß jeweils eine Seite(au, 24 410* (bezw.(ax, ax †)) mit einer Seite(au, ax+ ¹)(bezw.

(ax, ac)) eines anderen. Blattes vernahtet wird. Dann

bekommen wir einen mehrblättrigen, einfach zusammen- hängenden Bereich Fl über der X-Ebene, der wieder von einer Anzahl Seiten begrenzt wird. Für den weiteren Aufbau dient uns folgendes Rekursionsprinzipt!). Wenn wir die einfach zusammenhängende, mehrblättrige Fläche Fn haben, die von Seiten(ax, ax+) bezw.(ax, au †!) be- grenzt wird, so fügen wir längs aller freien Seiten von Fn neue Exemplare der zerschnittenen XEbene an und be- kommen damit die einfach zusammenhängende Fläche Fn †. Wenn wir diesen Prozeß in das Unendliche fortsetzen,

bekommen wir die zu der Signatur(a¹ 82. 4a) ge- hörige Oberlagerungsfläche.

§ 2.

Für den Falln= 2 spielt der Logarithmus die Rolle einer linear-polymorphen uniformisierenden Variablen. Auch der Falln= 3 kann als erledigt betrachtet werden und zwar durch die Modulfunktion. Mit ihrer Hilfe kann man die zugehörige Uberlagerungsfläche gegenseitig eindeutig und Kkonform auf das Innere des Einheitskreises abbilden und zwar so, daß ein gegebener innerer Punkt Po der Überlagerungsfläche dem Nullpunkt entspricht und die von

¹) Schlesinger, Handbuch der Theorie der linearen Differentlal- gleichungen II.(1898), S. 208 ff. Koebe, Mathem. Ann. 67(1900), S. 194 ff. Fricke-Klein, Automorphe Funktionen II(1900— 1912), S. 466,